Matematika2

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan dengan dua operasi dan bentuk tersebut dinamakan ring. Definisi a.1. Suatu ring adalah suatu himpunan R tak kosong beserta dua operasi pada R, yang disebut penjumlahan (a+b) dan pergandaan (a.b), sedemikian sehingga setiap aksioma berikut dipenuhi : R dengan penjumlahan merupakan grup Abelian memenuhi <ol style="list-style-type: decimal;"><li> ∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a+b = c. </li><li> ∀ a,b,c ∈ R, (a+b)+c = a +(b+c) </li><li> ∀ a ∈ R, ∃ 0 ∈ R , a+0 = 0+a = a </li><li> ∀ a∈ R, ∃ -a ∈ R , a+(-a) = (-a)+a = 0 </li></ol> <ol style="list-style-type: decimal;"><li style="margin-left: 0px; text-indent: 22px; line-height: 27px;"> ∀ a,b ∈ R, a+b = b+a R dengan pergandaan memenuhi : </li><li style="margin-left: 45px; text-indent: -21px; line-height: 26px;"> 1. ∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a.b = c. </li></ol> ∀ a,b,c ∈ R, (a.b).c = a.(b.c) R dengan komposisi kedua operasi memenuhi : ∀ a,b,c ∈ R, a.(b+c) = a.b+a.c dan (a+b).c = a.c+b.c Karena suatu ring merupakan grup terhadap, sifat-sifat dasar dari ring yang berkaitan dengan penjumlahan termuat dalam sifat-sifat dasar grup terhadap penjumlahan. Sebagai contoh, hukum kanselasi dan hukum (a-1)-1 = a karena –(-a)=a. Teorema berikut memberikan ringkasan dari sifat tersebut. Sesuai kesepakatan dalam grup : jika n adalah bilangan bulat positif, maka na = a+a+…+a (n suku) dan (-n)a = -(na) Teorema a.1. Diberikan R ring. Elemen nol dari R adalah tunggal. Bukti : Misal x,y ∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R berlaku a+x = a dan a+y=a. Jika diambil x∈R dengan y elemen nol maka x+y=x. Jika diambil y∈R dengan x elemen nol maka y+x=y. Karena x+y = y+x maka x=y. g Teorema a.2. Setiap elemen dari R mempunyai negatif tunggal. (Invers penjumlahan dari setiap elemen dalam ring R adalah tunggal). Bukti : Misalkan a+x = 0 dan a+y = 0 Maka a+x = a+y dengan kanselasi diperoleh x=y. g Teorema a.3. Hukum Kanselasi penjumlahan Jika a,b,c ∈ R maka berlaku i). Jika a+c = b+c maka a=b ii). Jika c+a = c+b maka a=b Bukti : Akan dibuktikan untuk (i). Diberikan a+c = b+c Menurut definisi grup, untuk c∈R, ada t∈R sedemikian sehingga c+t = 0. Maka untuk a+c = b+c diperoleh (a+c)+t = (b+c)+t Tetapi (a+c)+t = a+(c+t) = a + 0 = a. Akibatnya, (b+c)+t = b+(c+t) = b+0 = b Maka a=b. g Teorema a.4. Jika a dan b adalah elemen dari suatu ring R, persamaan a+x=b mempunyai penyelesaian tunggal x = b-a dalam R. Bukti : a+x = a +(b-a)= a+((-a)+b) = (a+(-a))+b = 0+b = b Ketunggalan dari penyelesaian tersebut ditunjukkan dengan hukum kanselasi berikut. Jika a+x = b dan a+y= b maka a+x = a+y. Mengakibatkan x=y. g Karena setiap elemen a∈R mempunyai tepat satu invers penjumlahan, maka dapat disingkat b+(-a) dengan b-a. Karena a+(-a) = 0, dapat dilihat bahwa a adalah invers penjumlahan dari –a, yaitu –(-a) = a. Maka dapat diuraikan teorema berikut : Teorema a.5. Untuk a,b,c elemen-elemen ring R berlaku i). –(-a) = a ii). –(a+b) = -a–b iii). –(a-b) = -a+b iv). (a-b)-c = a-(b+c) Teorema a.6. Suatu ring mempunyai tepat satu elemen satuan. Bukti : Misal e,e’∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R, berlaku ea = ae = a ……..(1) dan juga e’a = ae’ = a ………(2) Dengan cara yang sama, dari persamaan (1) berlaku juga untuk a=e’ sehingga dipunyai ee’ = e’e = e’ ……..(3) Dan untuk a=e dari persamaan (2) diperoleh e’e = ee’ = e ………(4) Dari persamaan (3) dan (4) menyebabkan e=e’, sehingga hanya ada satu elemen satuan. g Definisi a.2. Diberikan a elemen dari ring R dengan elemen satuan e. Jika ada elemen s dari R sedemikian sehingga as = sa = e, maka s disebut invers perkalian dari a. � Terdapat perbedaan antara invers penjumlahan dan invers perkalian pada ring. Dalam ring dari himpunan bilangan real, setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Dalam ring bilangan bulat, ada tepat dua elemen yang mempunyai invers perkalian, yaitu 1 dan –1. Teorema a.7. Jika a elemen ring R dengan elemen satuan e mempunyai invers perkalian, maka invers perkalian tersebut tunggal. Bukti : Misalkan bahwa s dan t adalah invers perkalian dari elemen a. Maka,dari definisi sa = e dan hukum asosiatif dari perkalian, maka s(at) = (sa)t = et = t. Karena at = e, maka s(at) = se = s. Jadi s = t. g Bila a mempunyai invers perkalian, maka menandakan invers perkaliannya dengan a-1 . Teorema a.8. Untuk setiap elemen a dari suatu ring R, dipunyai a.0 = 0.a = 0 Bukti : Karena a+0 = a, maka a(a+0) = a.a Dari hukum distributif didapat a(a+0) = a.a + a.0 Sehingga a.a + a.0 = a.a. Dengan kanselasi maka a.0 = 0. g Bila R adalah ring komutatif, maka dapat dibuktikan juga bahwa a.0 = 0. Jika R tidak komutatif,bukti bahwa 0.a = 0 dapat dengan mudah menggunakan bentuk lain dari hukum distributif. Teorema a.9. Diberikan R ring, 0 elemen nol dari R dan a,b,c ∈R. i). a(-b)= (-a)b = -(ab) ii). (-a)(-b) = ab iii). a(b-c) = ab – ac dan (a-b)c = ac – bc Bukti : i). Diberikan a(b+(-b)) = a.0 = 0……(1) Dengan hukum distributif, diperoleh a(b+(-b)) = ab + a(-b) ……..(2) Dari (1) dan (2) diperoleh ab + a(-b) = 0. Karena ab mempunyai invers penjumlahan tunggal yaitu –(ab) maka a(-b) = -(ab). Dengan cara yang sama dapat dibuktikan (-a)b = -(ab). ii). Dengan menggunakan teorema 9.i) di atas maka (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) Karena ab adalah invers penjumlahan dari –(ab) maka –(-(ab)) = ab. iii). Perhatikan bahwa b-c adalah notasi untuk b+(-c). Dan menggunakan teorema 9.i) dan hukum distributif maka diperoleh a(b-c) = a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab + -(ac) = ab-ac Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk (a-b)c = ac – bc. g Suatu elemen e dalam ring R disebut elemen satuan (identitas terhadap operasi perkalian) dari ring jika ea = ae = a untuk setiap a∈R. Dalam keadaan tersebut elemen satuan adalah elemen identitas untuk perkalian. Bilangan 1 adalah elemen satuan untuk ring dari bilangan bulat. Ring dari himpunan bilangan bulat ganjil tidak mempunyai elemen satuan. Suatu ring R disebut komutatif jika ab = ba untuk setiap a,b ∈R. Jika ab ≠ ba untuk suatu a,b ∈ R, maka R tidak komutatif. Definisi a.3. Jika R dan S adalah ring, suatu ring dengan elemen-elemennya adalah elemen dari himpunan hasilkali RxS, dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan sebagai berikut : (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S maka RxS disebut jumlahan langsung dari ring R dan S. � Contoh : Diberikan R dan S adalah ring dan RxS hasilkali Cartesius dari R dan S, yaitu himpunan dari semua pasangan terurut (r,s) dengan r∈R, s∈S. Maka RxS menjadi suatu ring dengan operasi berikut (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) dan (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk setiap r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S. Dalam contoh di atas ring RxS tidak komutatif. Ring RxS akan komutatif bila hanya bila R dan S keduanya komutatif.

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan de...

Baca selengkapnya »

Teorema mengenai Limiting Probability dan Irreducible

Teorema mengenai Limiting ProbabilityDefinisi: πj(n) adalah probabilitas suatu rantai Markov {Xn} berada dalam status j pada step ke n. Maka, πj(n) = P[Xn = j]. Distribusi awal (intial) dari masing-masing status 0, 1, 2, .. dinyatakan sebagaiπj(0) = P[X0 = j], untuk j = 0, 1, 2, …. Suatu rantai Markov memiliki distribusi probabilitas stasionerπ = (π0, π1, π2, …, πn) apabila terpenuhi persamaanπ =πP asalkan setiap πi ≥ 0 dan ∑i πi = 1. Jika suatu rantai Markov homogen waktu (stasioner dari waktu ke aktu) yang irreducible, aperiodic, maka limit probabilitas (n) π j = limπ j , untuk j = 0, 1, … n→∞ selalu ada dan independen dari distribusi probabilitas status awal π(0) = (0)(0) (π0, π1,π2(0), ….). Jika seluruh status tidak positive recurrent (jadi seluruhnya recurrent null atau seluruhnya transient), maka πj = 0 untuk semua j dan tidak terdapat distribusi probabilitas stasioner. Teorema mengenai Irreducible Jika {Xn} suatu rantai Markov, maka tepat salah satu kondisi berikut ini terjadi 1) Semua status adalah positive recurrent 2) Semua status recurrent null 3) Semua status transient

Teorema mengenai Limiting Probability dan Irreducible

Teorema mengenai Limiting Probability Definisi: π j ( n ) adalah probabilitas suatu rantai Markov { X n } berad a dalam status j pada ste...

Baca selengkapnya »

Teorema mengenai Relasi Ekovalensi

Teorema mengenai Relasi Ekovalensi

(a) Relasi i ↔j merupakan relasi ekivalen, yaitu untuk setiap status i, berlaku i ↔ i jika i ↔ j , maka juga j ↔ i jika i ↔j dan j ↔k ma...

Baca selengkapnya »

Terminologi

Reachable State status j reachable dari status i apabila dalam rantai dapat terjadi transisi dari status i ke status j melalui sejumlah transisi berhingga; Terdapat n, 0 ≤ n < ∞, sehingga Pnij > 0 Irreducible Chain jika dalam suatu rantai Markov setiap status reachable dari setiap status lainnya, rantai tersebut adalah irreducible. Periodic State suatu status i disebut periodic dengan perioda d > 1, jika pnii > 0, hanya untuk n = d, 2d, 3d, …; sebaliknya jika pnii > 0 untuk n = 1, 2, 3, … maka status tersebut disebut aperiodic. Probability Of First Return Probabilitas kembali pertama kalinya ke status i terjadi dalam n transisi setelah meninggalkan i. fi(n) = P[Xn = i, Xk ≠ i untuk k = 1, 2, …, n-1 | X0 = i] (note: fi(0) didefinisikan = 1 untuk semua i). Probability of Ever Return probabilitas akan kembalinya ke status i setelah sebelumnya meninggalkan i. (n) fi = ∑∞ fi n=1 1 Berdasarkan Pij = P1 ij serta P0 ij = 1 untuk i= j dan P0 ij = 0 untuk i ≠ j (yaitu Fungsi Delta Kronecker). Transient State Suatu status disebut transient jika probabilitas fi <>i melalui sejumlah transisi terdapat kemungkinan tidak dapat kembali ke i. Recurrent State Suatu status disebut recurrent jika probabilitas fi = 1; yaitu bahwa setelah dari I melalui sejumlah transisi selalu ada kemungkinan untuk kembali ke i. Mean Recurrence Time of State Untuk suatu status recurrent, jumlah step rata-rata untuk kembali ke status i ∞ (n) mi =∑nfi n=1 Null Recurrenct State Suatu recurrent state disebut reccurent null jika mi = ∞ Positive Recurrent State Suatu recurrent state disebut positive reccurent atau recurrent nonnull jika mi < ∞ Communicate State Dua status, i dan j, dikatakan berkomunikasi jika i reachable dari j dan juga j reachable dari i; ditulis dengan notasi i ↔ j . Ergodic Rantai Markov disebut ergodic jika irreducible, aperiodic, dan seluruh status positive recurrent.

Terminologi

Reachable State s tatus j reachable dari status i apabila dalam rantai dapat terjadi transisi dari status i ke status j melalui sejumlah ...

Baca selengkapnya »

Transisi Multistep (n-langkah)

Berdasarkan probabilitas satu langkah di atas, maka dapat dibentuk probabilitas n-langkah (n-step) yang menyatakan probabilitas transisi dari status i ke status j setelah melalui n langkah transisi. Pnij = P[Xn = j | X0 = i], dengan n, i, j = 0, 1, 2, … Untuk rantai Markov dengan probabilitas stasioner maka Pnij = P[Xn+m = j | Xm = i], dengan n, m ≥ 0 Sehingga diperoleh1 ∞ n+m nm Pij =∑ Pik Pkj untuk semua n, m, i, j ≥ 0 k=0 Atau secara khusus, ∞ nn−1 Pij =∑ Pik Pkj k=0 Dalam notasi matriks, P(n) adalah matriks transisi untuk multistep, maka dapat diperoleh persamaan dalam matriks P sbb P(n) = P(n-1)P= P(n-2)PP =… = Pn yaitu bahwa P(n) adalah pangkat n dari matriks P.

Transisi Multistep (n-langkah)

Berdasarkan probabilitas satu langkah di atas, maka dapat dibentuk probabilitas n-langkah (n-step) yang menyatakan probabilitas transisi da...

Baca selengkapnya »

Proses Rantai Markov

Proses stokastik {X(t), t ∈ T} merupakan suatu Proses Markov jika untuk <div> </div> setiap n+1, dengan indeks t1< t2 < …< tn < tn+1 dan harga-harga status {x1, x2, <div style="text-align: justify;"> </div> …, xn+1}, terjadi persamaan: P[X (tn+1) = xn+1| X (t1) = x1, X (t2) = x2 ,..., X (tn ) = xn ] = <div style="text-align: justify;"> </div> P[X (t ) = x | X (t ) = x ]<div style="text-align: justify;"> </div> n+1 n+1 nn <div style="text-align: justify;"> </div> Persamaan tsb. secara narasi dapat dikatakan proses selanjutnya hanya bergantung pada status saat ini, bukan pada “sejarah” dari proses tersebut. Dalam proses Markov status-status proses yang terjadi selama ini dicerminkan oleh status saat ini. <div style="text-align: justify;"> </div> Sebagaimana terminologi di awal, suatu proses Markov disebut Rantai Markov jika ruang status diskret. Untuk waktu diskret, rantai Markov dapat digambarkan sebagai diagram transisi status.

Proses Rantai Markov

Proses stokastik { X ( t ), t ∈ T } merupakan suatu Proses Markov jika untuk setiap n +1, dengan indeks t 1 < t 2 < …< t n < ...

Baca selengkapnya »

Interpolation Search

Interpolation Search

Teknik ini dilakukan pada data yang sudah terurut berdasarkan kunci tertentu Teknik searching ini dilakukan dengan perkiraan letak data. Con...

Baca selengkapnya »

Binary Search

Binary Search

Data yang ada harus diurutkan terlebih dahulu berdasarkan suatu urutan tertentu yang dijadikan kunci pencarian. Adalah teknik pencarian data...

Baca selengkapnya »

Sequential Search

Sequential Search

Adalah suatu teknik pencarian data dalam array ( 1 dimensi ) yang akan menelusuri semua elemen-elemen array dari awal sampai akhir, dimana d...

Baca selengkapnya »

Array

<ul style="text-align: justify;"><li>Array adalah suatu tipe data terstuktur yang berupa sejumlah data sejenis (bertipe data sama) yang jumlahnya bisa statis ataupun dinamis dan diberi suatu nama tertentu.</li><li>Elemen-elemen array tersusun secara berderet dan sekuensial di dalam memori sehingga memiliki alamat yang besebelahan/berdampingan.</li><li>Array dapat berupa array 1 dimensi, 2 dimensi, bahkan n-dimensi.</li><li>Elemen-elemen array bertipe data sama tapi bisa bernilai sama atau berbeda-beda.</li><li>Elemen-elemen array dapat diakses oleh program menggunakan suatu indeks tertentu</li><li>Pengaksesan elemen array dapat dilakukan berurutan atau random berdasarkan indeks tertentu secara langsung.</li><li>Pengisian dan pengambilan nilai pada indeks tertentu dapat dilakukan dengan mengeset nilai atau menampilkan nilai pada indeks yang dimaksud.</li><li>Dalam C, tidak terdapat error handling terhadap batasan nilai indeks, apakah indeks tersebut berada di dalam indeks array yang sudah didefinisikan atau belum. Hal ini merupakan tanggung jawab programmer. Sehingga jika programmer mengakses indeks yang salah, maka nilai yang dihasilkan akan berbeda atau rusak karena mengakses alamat memori yang tidak sesuai.</li></ul>

Array

Array adalah suatu tipe data terstuktur yang berupa sejumlah data sejenis (bertipe data sama) yang jumlahnya bisa statis ataupun dinamis dan...

Baca selengkapnya »

Struct / Record

Struct / Record

Struct adalah tipe data bentukan yang berisi kumpulan variabel-variabel yang bernaung dalam satu nama yang sama dan memiliki kaitan satu sam...

Baca selengkapnya »

Ciri Algoritma Yang Baik

Ciri Algoritma Yang Baik

Ciri algoritma yang baik menurut Donald E.Knuth: Input: ada minimal 0 input atau lebih Ouput: ada minimal 1 output atau lebih Definite: ada ...

Baca selengkapnya »

Pemodelan Matematika

Pengertian Model dan Pemodelan Matematika <ul><li>Model matematika dari suatu masalah adalah rumusan masalah dalam bentuk persamaan atau fungsi matematika </li><li>Pemodelan matematika dari suatu masalah adalah langkah-langkah yang ditempuh untuk memperoleh dan memanfaatkan persamaan atau fungsi metematika dari suatu masalah </li></ul>Model matematika dari suatu masalah adalah ibarat peta suatu wilayah Syarat utama Model yang baik <ul><li>Representatif: model mewakili dengan benar sesuatu yang diwakili, makin mewakili, model makin kompleks.</li><li>Dapat difahami/ dimanfaatkan: model yang dibuat harus dapat dimanfaatkan (dapat diselesaikan secara matematis), makin sederhana makin mudah diselesaikan.</li></ul>Jenis model matematika <ul><li>Model Deterministik: apabila fungsi yang diperoleh merupakan fungsi yang merupakan hubungan sempurna dari berapa peubah. Tidak mengandung komponen acak (kesalahan)y=f(x1,x2,…xn)</li><li>Model Stokastik: apabila fungsi yang diperoleh merupakan fungsi yang bukan merupakan hubungan sempurna dari peubah. Ditandai dengan adanya komponen acak atau komponen kesalahan (e). y=f(x1,x2,…xn)+e </li></ul>Langkah Langkah pemodelan <ul><li>Penentuan model </li></ul>– menentukan/ mengidentifikasi peubah; – menentukan parameter yang menjadi kepentingan; – menentukan jenis dan distribusi hubungan antara parameter dan peubah serta <ul><li>Mengestimasi parameter </li></ul>– menghitung nilai parameter-parameter secara analitik maupun numerik. – Implementasi dalam Komputer <ul><li>Menarik kesimpulan/ melakukan uji inferensi. </li></ul>– signifikan atau tidak, besaran kesalahan, interval dari hasil yang diperoleh? <ul><li>Melakukan uji kecocokan (goodness of fit) atau mengadakan diagnostik model </li></ul>Uji kecocokan ini biasanya dilakukan pada sisa (residu)

Pemodelan Matematika

Pengertian Model dan Pemodelan Matematika Model matematika dari suatu masalah adalah rumusan masalah dalam bentuk persamaan atau fungsi mat...

Baca selengkapnya »

Matematika2

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Teorema mengenai Limiting Probability dan Irreducible

Teorema mengenai Relasi Ekovalensi

Terminologi

Transisi Multistep (n-langkah)

Proses Rantai Markov

Interpolation Search

Binary Search

Sequential Search

Array

Struct / Record

Ciri Algoritma Yang Baik

Pemodelan Matematika

Entri Populer

Arsip Blog

Komentar