Matematika2: Struktur Aljabar

Ring Faktor

Dalam bagian ini akan diuraikan ring-ring faktor. Berdasarkan pada uraian sebelumnya, jika A suatu ideal dari ring R, maka A adalah subgrup dari grup penjumlahan R ( yang komutatif) dan merupakan grup normal. Selanjutnya, akan diuraikan ring faktor R/A. Karena elemen-elemen R/A adalah koset-koset dari A, elemen-elemen tersebut dapat ditulis dalam bentuk I + r dengan r ∈ R. Dan R/A merupakan ring dijelaskan dalam teorema berikut. R/A = { r + A | r ∈ R } melambangkan himpunan kelas-kelas ekuivalensi dari R modulo A dengan A ideal. Atau menunjukkan himpunan koset-koset r + A. Beberapa sifat dari koset : ( i). u + A = v + A bila dan hanya bila u – v ∈ A (ii). (u + A) ∩ (v+A) ≠∅ bila dan hanya bila u + A = v+A. Teorema a.1. Diberikan A suatu ideal dari ring R. Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan pada himpunan R/A dengan aturan ( u + A) + ( v +A ) = ( u+v) + A ( u + A ) ( v+ A) = uv + A Terhadap operasi tersebut R/A adalah suatu ring dan disebut ring faktor. Selanjutnya, pemetaan θ :R → R/A didefinisikan oleh θ (u) = u + A adalah homomorfisma dari R ke R/A. Bukti : Beberapa syarat yang berkaitan dengan ring harus dibuktikan. Akan dibuktikan sifat tertutup. Misalkan u + A = u1 +A dan v + A = v1+ A. Harus ditunjukkan bahwa uv + A= u1v1 + A dan ( u+v) + A= (u1 + v1) + A. Karena u + A = u1+ Amaka u – u1 ∈ A atau u ≡ u1 (mod. A). Dan v+A=v1+Amakav–v1 ∈ A atau v ≡ v1 ( mod.A). Menurut teorema a.1. pada bab III, ( u+v) ≡ (u1 + v1) (mod. A) dan uv ≡ u1v1 (mod. A). Maka (u+v)+A=(u1+v1)+Adanuv+A=u1v1+A. Akan dibuktikan satu dari aturan-aturan distributif. Diberikan u,v,w ∈ R. (u+A) [ (v+A) + ( w+ A )] = ( u+A) [ ( u+w) + A ] = ( u (v+w)) + A = ( uv + uw) + A = (uv + A ) + ( uw+ A) = ( u+A) ( v+A) + ( u+A) ( w+A) 0+A = A adalah elemen identitas penjumlahan dari R/A dengan 0 ∈ R. Jika R mempunyai elemen identitas perkalian e, maka e + A adalah identitas perkalian dari R/A. Jika ring R komutatif maka setiap ring faktor R/A juga komutatif. Tetapi sebalikmya tidak benar. Ring R/A dapat komutatif meskipun R tidak komutatif. g Ring faktor R/A belum tentu merupakan daerah integral meskipun R adalah daerah integral. Sebagai contoh, Z adalah daerah integral, padahal Z6 bukan daerah integral. Teorema a.2. Jika R suatu ring dan A adalah ideal dari R, maka pemetaan φ :R → R/A didefinisikan sebagai φ (u) = u + A; untuk setiap u ∈ R; adalah homomorfisma dari R ke R/A dan Ker (φ ) = A. Bukti : Diberikan u,v ∈ R maka φ (uv ) = uv + A = (u+A)(v+A) = φ(u) φ(v) φ ( u+v) = ( u+v) + A= ( u+A)+ (v+A) = φ (u) + φ (v) Ambil u ∈ Ker (φ ) maka u ∈ R dan φ(u) = 0 + A; 0+A elemen nol dari R/A. φ (u ) = u+A = 0+A maka u ∈ A. Ambil u ∈ A, maka u ∈ R. Karena φ homomorfisma maka φ(u) = u+A. g

Ring Faktor

Dalam bagian ini akan diuraikan ring-ring faktor. Berdasarkan pada uraian sebelumnya, jika A suatu ideal dari ring R, maka A adalah subgrup...

Baca selengkapnya »

Field

Definisi c.1. Diberikan A subring dari ring R. Maka : i). A disebut ideal kanan dalam R jika A tertutup terhadap operasi perkalian (pergandaan) sebelah kanan dari elemen dalam R. Jika a ∈ A,r ∈ R maka ar ∈ A. ii). A disebut ideal kiri dalam R jika A tertutup terhadap operasi pergandaan sebelah kiri dari elemen-elemen dalam R. Jika a ∈ A, r ∈ R, maka ra ∈ A. iii). A disebut ideal dalam R jika dipenuhi bahwa A ideal kiri dan kanan dalam R. � Dalam suatu ring R, subring yang hanya memuat elemen nol dan dari definisi jelas merupakan ideal, dan ring R yang memuat subring tersebut juga merupakan ideal. Kedua ideal tersebut disebut ideal trivial (sederhana). Jika R mempunyai elemen identitas e dan suatu ideal A dalam R memuat sebuah elemen a dengan invers perkalian, maka A = R. Yaitu, jika a ∈ A dan aa-1 = e, maka e∈A dan ex= x ∈A, untuk setiap x∈R. Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan pula berlaku untuk ideal kiri dan ideal. 4. Himpunan Ra terdiri atas semua kelipatan-kelipatan ra dengan a elemen tertentu adalah suatu ideal. Karena jika m1 ∈ Ra, m1 = r1a dan m2∈Ra, m2 = r2a, maka m1 – m2 = r1a – r2a = (r1 – r2)a = r’ a. Sehingga m1 – m2 ∈ Ra. Selanjutnya jika m ∈ Ra, dan m = ra , r1 ∈ R maka r1m=r1(ra)=(r1r)a=r’a. Sehinggar1m ∈ Ra. Diberikan S ring komutatif dengan elemen identitas e. Jika a ∈ S, diberikan A = { as | s ∈ S } dan dapat dibuktikan bahwa A adalah ideal dalam S. Jika s,t ∈ S maka as + at = a(s+t) dan (as)t = a(st), sehingga A tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian oleh sebarang elemen dari S. Selanjutnya, -(as) = a(-s) ∈ A, dan oleh karena invers-invers penjumlahan dari elemen-elemen A adalah juga berada di A, maka A adalah ideal dalam S. Definisi c.2. Diberikan S ring komutatif dengan elemen satuan. Jika a∈S, suatu ideal dengan bentuk <a> = { as | s</a><a>∈</a><a>S } maka </a><a> disebu</a><a>t </a><a>ideal utama </a><a>(principal ideal)</a><a>. </a><a>Atau dapat juga disebut ideal utama yang dibangun oleh a dan a disebu</a><a>t </a><a>pembangkit dari ideal. </a><a>� </a><a> </a><a> Apabila ring R mempunyai elemen satuan maka elemen-elemen berbentuk ra + na dapat ditulis dengan bentuk yang lebih bersahaja. Sebab ra + na = ra + ne.a = (r + ne)a = r’a. Sehingga, bila R mempunyai elemen satuan maka ideal yang dihasilkan oleh a (yaitu </a><a>) terdiri atas semua kelipatan-kelipatan ring dari a. Dapat ditulis sebagai himpunan Ra, yaitu Ra = { ra | r ∈ R } dengan a tertentu. Ra tersebut merupakan salah satu contoh lain ideal. Apabila m1 ∈ Ra maka m1 = r1a dan m2 ∈ Ra maka m2 = r2a. Sehinggam1-m2= r1a-r2a=(r1-r2)a=r’a.Jadim1-m2 ∈ Ra. Selanjutnya, jika m∈ Ra, jadi m = ra, dan r1 ∈ R maka r1 (ra) = (r1 r)a = r’ </a><a> </a><a> a. Sehingga r1m ∈ Ra. </a><a> </a><a> Teorema c.1. </a><a> </a><a> Jika R adalah daerah euclidean, maka setiap ideal dari R adalah ideal utama. Bukti : </a><a> </a><a> Diberikan d fungsi Euclid untuk R dan diberikan A ideal dari R. Jika A hanya terdiri dari elemen nol, maka A adalah ideal utama dengan A = <0>. Misalkan A bukan ideal nol. Maka himpunan M = { d(a)| a ∈ A, a ≠ 0 } bukan himpunan kosong. Karena M terdiri dari bilangan-bilangan bulat taknegatif, maka menurut sifat keterurutan ada elemen terkecil dalam M. Diambil b ∈ A sehingga d(b) adalah elemen terkecil dari M, maka d(b) ≤ d(a) untuk setiap a∈A dengan a ≠0. Akan dibuktikan bahwa A adalah ideal utama yang dibangun oleh </a><a> </a><a> b. Untuk membuktikannya , harus ditunjukkan bahwa setiap elemen dari A habis dibagi oleh b. Ambil a ∈ A. Dengan algoritma pembagian dipunyai a = bq + r dengan r = 0 atau d(r) <>. Untuk d(r) <>. Elemen r = a – bq adalah elemen dari A, karena a dan b elemen A. Jika r ≠ 0, maka d(r) elemen M dan d(r) lebih kecil dari pada elemen terkecil M, yaitu d(b). Hal tersebut tidak mungkin, sehingga r = 0 dan a = bq. Bentuk tersebut menunjukkan bahwa setiap elemen A adalah perkalian dari b dan A = . g </a>

Field

Definisi c.1 . Diberikan A subring dari ring R. Maka : i) . A disebut ideal kanan dalam R jika A tertutup terhadap operasi perkalian (p...

Baca selengkapnya »

Ideal

Karena suatu daerah integral tidak mempunyai pembagi nol, maka himpunan dari elemen-elemen taknol tertutup terhadap perkalian. Dalam daerah integral dari bilangan rasional, setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Definisi b.1. Suatu ring komutatif F dengan lebih dari 1 elemen dan mempunyai elemen satuan disebut field jika setiap elemen taknol dari F mempunyai invers perkalian dalam F. � Setiap elemen taknol dari suatu field mempunyai tepat satu invers perkalian. Invers perkalian dari elemen taknol r dari field dilambangkan dengan r –1 . Jika e adalah elemen satuan dari F, r-1 adalah elemen tunggal F sedemikian sehingga -1 -1 r.r =r .r=e Dalam cara lain, suatu field dapat diartikan sebagai daerah integral dengan setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Contoh lain dari field, selain ring bilangan rasional ada juga ring bilangan real. Hubungan antara suatu daerah integral dan field diberikan dalam teorema berikut. Teorema b.1. Suatu field adalah daerah integral. Bukti : Diberikan r dan s elemen-elemen dari field F sedemikian sehingga rs = 0. Jika r ≠ 0, r mempunyai invers perkalian r-1 dalam F sehingga dipenuhi r-1 (r s) =( r-1 r ) s = 1 s = s. Padahal,r-1 (rs)=r –1 0=0. Maka s = 0, berarti telah dipenuhi bahwa r = 0 atau s = 0. Ini membuktikan bahwa F tidak mempunyai pembagi nol yang taknol (tidak mempunyai pembagi nol sejati) dan F memenuhi ciriciri daerah integral. g Akibat teorema b.1. Jika R adalah subring dari field F dan R memuat elemen satuan dari F, maka R adalah daerah integral. Bukti : Karena operasi penjumlahan dan perkalian dari elemen dalam R didefinisikan sama dengan operasi untuk F, maka R adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Selanjutnya, jika r dan s elemenelemen dari R dengan r s = 0, maka, karena r dan s juga berada di F, maka dipenuhi r = 0 atau s = 0. Oleh karena itu R adalah daerah integral. g Teorema b.2. Jika r dan s adalah elemen dari field F dan r ≠ 0 maka ada elemen tunggal y ∈ F sedemikian sehingga r y = s. Selanjutnya, y = r –1 s. Bukti : Jelas bahwa r–1 s adalah penyelesaian dari persamaan r y = s, karena r(r –1s)=(rr –1)s=1s=s. Untuk menunjukkan ketunggalan dari penyelesaian, misalkan ry1=sdan ry2=s.Makary1=ry2dankarenar ≠ 0, dengan hukum kanselasi perkalian diperoleh y1 = y2. g Akibat dari teorema tersebut, menyebabkan ada field dengan orde berhingga. Teorema c.3. Setiap daerah integral berhingga merupakan field. Bukti : Diberikan 0, 1, a1, a2, ...., an merupakan elemen-elemen dari daerah integral berhingga D. Akan ditunjukkan bahwa untuk a ∈ D, dengan a ≠ 0, ada b ∈ D sedemikian sehingga ab = 1. Perhatikan a1, aa1, aa2, ....., aan. Diandaikan bahwa semua elemen tersebut (elemen dari D) berbeda, untuk a ai = a aj menyebabkan ai = aj , dengan hukum kanselasi yang berlaku pada daerah integral. Karena D tidak mempunyai pembagi nol, tidak satupun dari elemen – elemen tersebut adalah 0. Banyaknya anggota dari a1, aa1, aa2, ....., aan adalah tepat sebanyak n. Andaikan ai aj = ai ak maka ai (aj -ak) = 0, karena daerah integral tidak memuat pembagi nol sejati maka aj -ak = 0 , jadi aj = ak . Diperoleh a1, aa1, aa2, ....., aan adalah elemen-elemen 1, a1, a2, ...., an terurut, maka ada a1 = 1, yaitu a = 1 atau aai = 1 untuk suatu i. Terbukti a mempunyai invers perkalian. g Definisi c.2. Suatu subset K dari field F adalah subfield dari F jika K sendiri merupakan field terhadap operasi pada F. � Teorema c. 4. Suatu subset K dari field F adalah subfield dari F bila dan hanya bila a). K memuat elemen nol dan elemen satuan dari F. b). Jika a,b ∈ K maka a+b ∈ K dan ab ∈ K. c). Jika a ∈ K, maka –a ∈ K. d). Jika a ∈ K dan a ≠ 0 maka a-1∈K

Ideal

Karena suatu daerah integral tidak mempunyai pembagi nol, maka himpunan dari elemen-elemen taknol tertutup terhadap perkalian. Dalam daerah...

Baca selengkapnya »

Daerah Integral

Definisi a.1. Suatu elemen a dari ring R disebut pembagi nol kiri jika terdapat elemen taknol c dalam R sedemikian sehingga ac = 0. Sedangkan analog dengan di atas, a∈R disebut pembagi nol kanan jika terdapat elemen taknol d dalam R sedemikian sehingga da = 0. Jika ada b∈R, b ≠ 0 sedemikian sehingga ab = ba = 0 maka a disebut pembagi nol (divisor of zero). � Dalam setiap ring, elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu 0, merupakan pembagi nol. Karena 0a = a0 = 0 dengan a ≠0. Apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena untuk setiap b∈R, eb = be = b. Definisi a.2. Suatu pembagi nol a disebut pembagi nol sejati (proper divisor of zero), bila dan hanya bila a ≠0. � Dalam himpunan bilangan bulat telah diketahui bahwa jika a,b ∈Z dan ab = 0 maka pasti a = 0 atau b = 0. Sehingga ring dari bilangan bulat tidak memuat pembagi nol sejati. Sebaliknya terdapat juga ring-ring yang memuat pembagi nol sejati. Misalkan ring dari bilangan bulat modulo 6 ( Z6), sebagai contoh, [2], [3] ∈Z6, [2] ⊗ [3] = [0] dengan [2] ≠ [0] dan [3] ≠ [0], [2] dan [3] adalah pembagi nol. Demikian juga ring dari matriks berordo 2x2 memuat pembagi nol sejati Definisi a.3. Suatu ring R tidak memuat pembagi nol sejati bila dan hanya bila untuk setiap a,b ∈R, jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0. Atau dengan kontraposisi : a ≠0 dan b ≠ 0 ⇒ ab ≠ 0. � Teorema a.1. Hukum Kanselasi pada Perkalian. Jika a bukan pembagi nol dalam ring R, maka sifat berikut ini berlaku : i). Jika b,c ∈R sedemikian sehingga ab = ac maka b = c. ii). Jika b,c ∈R sedemikian sehingga ba = ca maka b = c. Bukti : Akan dibuktikan untuk (i). Jika ab = ac maka ab – ac = 0 dan a(b-c) = 0. Karena a bukan pembagi nol, maka b – c = 0, sehingga b = c. Untuk (ii) dibuktikan analog. Teorema a.2. Diberikan a dan b elemen ring R. Jika a dan b bukan pembagi nol ring R maka ab bukan pembagi nol. Bukti : Diberikan a dan b bukan pembagi nol. Akan dibuktikan ab bukan pembagi nol. Diandaikan ab merupakan pembagi nol kiri. Maka terdapat c∈R, c≠0 sedemikian sehingga (ab)c = 0. Tetapi (ab)c = a(bc). Karena a bukan pembagi nol dan a(bc) = 0 maka bc = 0. Karena b bukan pembagi nol dan bc = 0 maka c = 0. Kontradiksi dengan pengandaian c≠0. Maka pengandaian harus diingkar. Jadi c = 0. g Untuk selanjutnya, akan diberikan suatu ring yang tidak mempunyai pembagi nol yang tidak sama dengan nol (atau pembagi nol sejati), yang disebut daerah integral. Definisi a.4. Suatu ring D dengan lebih dari 1 elemen disebut daerah integral jika memenuhi sifat komutatif, mempunyai elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol yang tidak sama dengan nol (tidak memuat pembagi nol sejati). � Cara lain untuk menyatakan bahwa ring D tidak mempunyai pembagi nol sejati adalah dengan menggunakan pernyataan berikut : Jika r , s ∈D sedemikian sehingga rs = 0 maka r = 0 atau s =0. Dari definisi tentang daerah integral, hukum kanselasi perkalian (teorema 1) selalu benar untuk a ≠ 0. Contoh yang tidak asing dari daerah integral adalah ring-ring bilangan bulat, bilangan real dan bilangan kompleks. Teorema a.3. Sifat Kanselasi Kiri. Jika D adalah daerah integral a,b,c ∈ D,a ≠ 0 dan ab = ac maka b = c . Bukti : Diketahui ab = ac maka diperoleh ab – ac = 0. Sehingga a(b-c) = 0. Karena a ≠ 0, a elemen taknol dari daerah integral D maka a bukan pembagi nol. Sehingga didapat b – c = 0 dan b = c. g Karena perkalian bersifat komutatif dalam suatu daerah integral, maka sifat kanselasi kiri dalam teorema a.3. ekuivalen dengan sifat kanselasi kanan, yaitu : Jika a ≠ 0 dan ba = ca maka b = c. Selanjutnya, untuk ring komutatif dengan sifat kanselasi menyebabkan ring tersebut tidak mempunyai pembagi nol. Definisi lain dari daerah integral adalah : Daerah integral adalah suatu ring komutatif D dengan elemen satuan e ≠ 0 sedemikian sehingga jika a,b,c ∈ D, ab = ac dan a ≠ 0 maka b = c.

Daerah Integral

Definisi a.1. Suatu elemen a dari ring R disebut pembagi nol kiri jika terdapat elemen taknol c dalam R sedemikian sehingga ac = 0. Sedangk...

Baca selengkapnya »

Subring ( Ring Bagian )

Definisi c.1. Suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R disebut subring dari R jika S adalah ring terhadap kedua operasi pada R. � Contoh : Ring dari bilangan bulat genap adalah subring dari ring himpunan bilangan bulat. Dan ring dari bilangan bulat adalah subring dari ring bilangan rasional. Syarat perlu cukup agar S merupakan subring diberikan dalam teorema berikut. Teorema c.1. Diberikan R ring dan S suatu himpunan bagian tak kosong dari R. Maka S merupakan subring dari R bila dan hanya bila syarat berikut dipenuhi : Untuk a,b∈R , ab ∈S dan a-b ∈S. Bukti : Bila S merupakan subring dari ring R, berarti S adalah ring terhadap kedua operasi dari R. Maka dipenuhi : 1). Untuk setiap a,b ∈S, ab∈S. 2). Untuk setiap a,b ∈S, a+b ∈S 3). Untuk setiap a ∈S, -a ∈S g Contoh : Diberikan F = M (R) melambangkan himpunan semua fungsi f : R → R. Diberikan (f+g) (x) = f(x) + g(x) ; untuk setiap x∈R. (fg) (x) = f(x) g(x) ; untuk setiap x ∈R. Dapat dibuktikan bahwa M(R) dengan kedua operasi tersebut merupakan ring. Misalkan terdapat S yang merupakan himpunan dari semua f∈F sedemikian sehingga f(1) = 0. Maka S adalah subring dari F. Karena memenuhi definisi subring. Himpunan S tak kosong karena 0F∈S. Karena 0F(x) = 0 untuk setiap x∈R. Demikian juga 0F(1) = 0 maka 0F∈S. Dan jika f dan g elemen dalam S maka (f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0 (fg) (1) = f(1)g(1) = 0.0 = 0 Berarti f+g dan fg dalam S. Akhirnya, jika f(1) = 0 maka (-f)(1) = -f(1) = -0 = 0. Hal tersebut berarti, negatif dari setiap elemen S juga berada dalam S.

Subring ( Ring Bagian )

Definisi c.1 . Suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R disebut subring dari R jika S adalah ring terhadap kedua operasi pada R. � ...

Baca selengkapnya »

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan dengan dua operasi dan bentuk tersebut dinamakan ring. Definisi a.1. Suatu ring adalah suatu himpunan R tak kosong beserta dua operasi pada R, yang disebut penjumlahan (a+b) dan pergandaan (a.b), sedemikian sehingga setiap aksioma berikut dipenuhi : R dengan penjumlahan merupakan grup Abelian memenuhi <ol style="list-style-type: decimal;"><li> ∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a+b = c. </li><li> ∀ a,b,c ∈ R, (a+b)+c = a +(b+c) </li><li> ∀ a ∈ R, ∃ 0 ∈ R , a+0 = 0+a = a </li><li> ∀ a∈ R, ∃ -a ∈ R , a+(-a) = (-a)+a = 0 </li></ol> <ol style="list-style-type: decimal;"><li style="margin-left: 0px; text-indent: 22px; line-height: 27px;"> ∀ a,b ∈ R, a+b = b+a R dengan pergandaan memenuhi : </li><li style="margin-left: 45px; text-indent: -21px; line-height: 26px;"> 1. ∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a.b = c. </li></ol> ∀ a,b,c ∈ R, (a.b).c = a.(b.c) R dengan komposisi kedua operasi memenuhi : ∀ a,b,c ∈ R, a.(b+c) = a.b+a.c dan (a+b).c = a.c+b.c Karena suatu ring merupakan grup terhadap, sifat-sifat dasar dari ring yang berkaitan dengan penjumlahan termuat dalam sifat-sifat dasar grup terhadap penjumlahan. Sebagai contoh, hukum kanselasi dan hukum (a-1)-1 = a karena –(-a)=a. Teorema berikut memberikan ringkasan dari sifat tersebut. Sesuai kesepakatan dalam grup : jika n adalah bilangan bulat positif, maka na = a+a+…+a (n suku) dan (-n)a = -(na) Teorema a.1. Diberikan R ring. Elemen nol dari R adalah tunggal. Bukti : Misal x,y ∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R berlaku a+x = a dan a+y=a. Jika diambil x∈R dengan y elemen nol maka x+y=x. Jika diambil y∈R dengan x elemen nol maka y+x=y. Karena x+y = y+x maka x=y. g Teorema a.2. Setiap elemen dari R mempunyai negatif tunggal. (Invers penjumlahan dari setiap elemen dalam ring R adalah tunggal). Bukti : Misalkan a+x = 0 dan a+y = 0 Maka a+x = a+y dengan kanselasi diperoleh x=y. g Teorema a.3. Hukum Kanselasi penjumlahan Jika a,b,c ∈ R maka berlaku i). Jika a+c = b+c maka a=b ii). Jika c+a = c+b maka a=b Bukti : Akan dibuktikan untuk (i). Diberikan a+c = b+c Menurut definisi grup, untuk c∈R, ada t∈R sedemikian sehingga c+t = 0. Maka untuk a+c = b+c diperoleh (a+c)+t = (b+c)+t Tetapi (a+c)+t = a+(c+t) = a + 0 = a. Akibatnya, (b+c)+t = b+(c+t) = b+0 = b Maka a=b. g Teorema a.4. Jika a dan b adalah elemen dari suatu ring R, persamaan a+x=b mempunyai penyelesaian tunggal x = b-a dalam R. Bukti : a+x = a +(b-a)= a+((-a)+b) = (a+(-a))+b = 0+b = b Ketunggalan dari penyelesaian tersebut ditunjukkan dengan hukum kanselasi berikut. Jika a+x = b dan a+y= b maka a+x = a+y. Mengakibatkan x=y. g Karena setiap elemen a∈R mempunyai tepat satu invers penjumlahan, maka dapat disingkat b+(-a) dengan b-a. Karena a+(-a) = 0, dapat dilihat bahwa a adalah invers penjumlahan dari –a, yaitu –(-a) = a. Maka dapat diuraikan teorema berikut : Teorema a.5. Untuk a,b,c elemen-elemen ring R berlaku i). –(-a) = a ii). –(a+b) = -a–b iii). –(a-b) = -a+b iv). (a-b)-c = a-(b+c) Teorema a.6. Suatu ring mempunyai tepat satu elemen satuan. Bukti : Misal e,e’∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R, berlaku ea = ae = a ……..(1) dan juga e’a = ae’ = a ………(2) Dengan cara yang sama, dari persamaan (1) berlaku juga untuk a=e’ sehingga dipunyai ee’ = e’e = e’ ……..(3) Dan untuk a=e dari persamaan (2) diperoleh e’e = ee’ = e ………(4) Dari persamaan (3) dan (4) menyebabkan e=e’, sehingga hanya ada satu elemen satuan. g Definisi a.2. Diberikan a elemen dari ring R dengan elemen satuan e. Jika ada elemen s dari R sedemikian sehingga as = sa = e, maka s disebut invers perkalian dari a. � Terdapat perbedaan antara invers penjumlahan dan invers perkalian pada ring. Dalam ring dari himpunan bilangan real, setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Dalam ring bilangan bulat, ada tepat dua elemen yang mempunyai invers perkalian, yaitu 1 dan –1. Teorema a.7. Jika a elemen ring R dengan elemen satuan e mempunyai invers perkalian, maka invers perkalian tersebut tunggal. Bukti : Misalkan bahwa s dan t adalah invers perkalian dari elemen a. Maka,dari definisi sa = e dan hukum asosiatif dari perkalian, maka s(at) = (sa)t = et = t. Karena at = e, maka s(at) = se = s. Jadi s = t. g Bila a mempunyai invers perkalian, maka menandakan invers perkaliannya dengan a-1 . Teorema a.8. Untuk setiap elemen a dari suatu ring R, dipunyai a.0 = 0.a = 0 Bukti : Karena a+0 = a, maka a(a+0) = a.a Dari hukum distributif didapat a(a+0) = a.a + a.0 Sehingga a.a + a.0 = a.a. Dengan kanselasi maka a.0 = 0. g Bila R adalah ring komutatif, maka dapat dibuktikan juga bahwa a.0 = 0. Jika R tidak komutatif,bukti bahwa 0.a = 0 dapat dengan mudah menggunakan bentuk lain dari hukum distributif. Teorema a.9. Diberikan R ring, 0 elemen nol dari R dan a,b,c ∈R. i). a(-b)= (-a)b = -(ab) ii). (-a)(-b) = ab iii). a(b-c) = ab – ac dan (a-b)c = ac – bc Bukti : i). Diberikan a(b+(-b)) = a.0 = 0……(1) Dengan hukum distributif, diperoleh a(b+(-b)) = ab + a(-b) ……..(2) Dari (1) dan (2) diperoleh ab + a(-b) = 0. Karena ab mempunyai invers penjumlahan tunggal yaitu –(ab) maka a(-b) = -(ab). Dengan cara yang sama dapat dibuktikan (-a)b = -(ab). ii). Dengan menggunakan teorema 9.i) di atas maka (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) Karena ab adalah invers penjumlahan dari –(ab) maka –(-(ab)) = ab. iii). Perhatikan bahwa b-c adalah notasi untuk b+(-c). Dan menggunakan teorema 9.i) dan hukum distributif maka diperoleh a(b-c) = a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab + -(ac) = ab-ac Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk (a-b)c = ac – bc. g Suatu elemen e dalam ring R disebut elemen satuan (identitas terhadap operasi perkalian) dari ring jika ea = ae = a untuk setiap a∈R. Dalam keadaan tersebut elemen satuan adalah elemen identitas untuk perkalian. Bilangan 1 adalah elemen satuan untuk ring dari bilangan bulat. Ring dari himpunan bilangan bulat ganjil tidak mempunyai elemen satuan. Suatu ring R disebut komutatif jika ab = ba untuk setiap a,b ∈R. Jika ab ≠ ba untuk suatu a,b ∈ R, maka R tidak komutatif. Definisi a.3. Jika R dan S adalah ring, suatu ring dengan elemen-elemennya adalah elemen dari himpunan hasilkali RxS, dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan sebagai berikut : (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S maka RxS disebut jumlahan langsung dari ring R dan S. � Contoh : Diberikan R dan S adalah ring dan RxS hasilkali Cartesius dari R dan S, yaitu himpunan dari semua pasangan terurut (r,s) dengan r∈R, s∈S. Maka RxS menjadi suatu ring dengan operasi berikut (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) dan (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk setiap r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S. Dalam contoh di atas ring RxS tidak komutatif. Ring RxS akan komutatif bila hanya bila R dan S keduanya komutatif.

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan de...

Baca selengkapnya »

Matematika2

Ring Faktor

Field

Ideal

Daerah Integral

Subring ( Ring Bagian )

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Entri Populer

Arsip Blog

Komentar