Daerah Integral

Definisi a.1. Suatu elemen a dari ring R disebut pembagi nol kiri jika terdapat elemen taknol c dalam R sedemikian sehingga ac = 0. Sedangkan analog dengan di atas, a∈R disebut pembagi nol kanan jika terdapat elemen taknol d dalam R sedemikian sehingga da = 0. Jika ada b∈R, b ≠ 0 sedemikian sehingga ab = ba = 0 maka a disebut pembagi nol (divisor of zero). �

Dalam setiap ring, elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu 0, merupakan pembagi nol. Karena 0a = a0 = 0 dengan a ≠0. Apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena untuk setiap b∈R, eb = be = b.

Definisi a.2. Suatu pembagi nol a disebut pembagi nol sejati (proper divisor of zero), bila dan hanya bila a ≠0. �

Dalam himpunan bilangan bulat telah diketahui bahwa jika a,b ∈Z dan ab = 0 maka pasti a = 0 atau b = 0. Sehingga ring dari bilangan bulat tidak memuat pembagi nol sejati. Sebaliknya terdapat juga ring-ring yang memuat pembagi nol sejati.

Misalkan ring dari bilangan bulat modulo 6 ( Z6), sebagai contoh, [2], [3] ∈Z6, [2] ⊗ [3] = [0] dengan [2] ≠ [0] dan [3] ≠ [0], [2] dan [3] adalah pembagi nol. Demikian juga ring dari matriks berordo 2x2 memuat pembagi nol sejati

Definisi a.3. Suatu ring R tidak memuat pembagi nol sejati bila dan hanya bila untuk setiap a,b ∈R, jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0. Atau dengan kontraposisi : a ≠0 dan b ≠ 0 ⇒ ab ≠ 0. �

Teorema a.1. Hukum Kanselasi pada Perkalian. Jika a bukan pembagi nol dalam ring R, maka sifat berikut ini berlaku :

i). Jika b,c ∈R sedemikian sehingga ab = ac maka b = c. ii). Jika b,c ∈R sedemikian sehingga ba = ca maka b = c. Bukti :

Akan dibuktikan untuk (i). Jika ab = ac maka ab – ac = 0 dan a(b-c) = 0. Karena a bukan pembagi nol, maka b – c = 0, sehingga b = c. Untuk (ii) dibuktikan analog.

Teorema a.2. Diberikan a dan b elemen ring R. Jika a dan b bukan pembagi nol ring R maka ab bukan pembagi nol. Bukti :

Diberikan a dan b bukan pembagi nol. Akan dibuktikan ab bukan pembagi nol. Diandaikan ab merupakan pembagi nol kiri. Maka terdapat c∈R, c≠0 sedemikian sehingga (ab)c = 0. Tetapi (ab)c = a(bc). Karena a bukan pembagi nol dan a(bc) = 0 maka bc = 0. Karena b bukan pembagi nol dan bc = 0 maka c = 0. Kontradiksi dengan pengandaian c≠0. Maka pengandaian harus diingkar. Jadi c = 0. g

Untuk selanjutnya, akan diberikan suatu ring yang tidak mempunyai pembagi nol yang tidak sama dengan nol (atau pembagi nol sejati), yang disebut daerah integral.

Definisi a.4. Suatu ring D dengan lebih dari 1 elemen disebut daerah integral jika memenuhi sifat komutatif, mempunyai elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol yang tidak sama dengan nol (tidak memuat pembagi nol sejati). �

Cara lain untuk menyatakan bahwa ring D tidak mempunyai pembagi nol sejati adalah dengan menggunakan pernyataan berikut :

Jika r , s ∈D sedemikian sehingga rs = 0 maka r = 0 atau s =0.

Dari definisi tentang daerah integral, hukum kanselasi perkalian (teorema 1) selalu benar untuk a ≠ 0. Contoh yang tidak asing dari daerah integral adalah ring-ring bilangan bulat, bilangan real dan bilangan kompleks.

Teorema a.3. Sifat Kanselasi Kiri. Jika D adalah daerah integral a,b,c ∈ D,a ≠ 0 dan ab = ac maka b = c . Bukti :

Diketahui ab = ac maka diperoleh ab – ac = 0. Sehingga a(b-c) = 0. Karena a ≠ 0, a elemen taknol dari daerah integral D maka a bukan pembagi nol. Sehingga didapat b – c = 0 dan b = c. g

Karena perkalian bersifat komutatif dalam suatu daerah integral, maka sifat kanselasi kiri dalam teorema a.3. ekuivalen dengan sifat kanselasi kanan, yaitu :

Jika a ≠ 0 dan ba = ca maka b = c.

Selanjutnya, untuk ring komutatif dengan sifat kanselasi menyebabkan ring tersebut tidak mempunyai pembagi nol. Definisi lain dari daerah integral adalah : Daerah integral adalah suatu ring komutatif D dengan elemen satuan e ≠ 0 sedemikian sehingga jika a,b,c ∈ D, ab = ac dan a ≠ 0 maka b = c.