Teorema Isomorfisma Ring

Teorema b.1. Teorema Isomorfisma pertama Diberikan φ suatu homomorfisma dari ring R ke ring S dengan kernel A. Maka S adalah isomorfik dengan ring faktor R/A; dengan pemetaan α : R/A → S didefinisikan sebagai α(u+A) = φ(u) ; untuk setiap u+A ∈ R/A.

Bukti :

Sudah dibuktikan pada bab 3 dalam teorema b.2. bahwa

A = Ker φ adalah ideal dari R.

Maka dapat dibentuk ring faktor R/A.

Akan ditunjukkan pemetaan α di atas tertutup (terdefinisi dengan

baik).

Ambil u+A, v+A ∈ R/A dengan u+A = v+A; u,v ∈ R.

Berarti u – v ∈ A. Atau u = v + a; a ∈ A.

Maka diperoleh φ ( u) = φ ( v+a ) = φ (v) + φ (a) ;

karena φ homomorfisma.

Karena a ∈ A; dengan A = ker φ ; maka φ (a) = 0.

Sehingga φ (u) = φ (v).

Selanjutnya, akan ditunjukkan α : R/A → S isomorfisma.

Pertama, ditunjukkan bahwa α homomorfisma.

α ((u+A)+(v+A)) = α ((u+v) + A)

= φ (u+v)

= φ (u) + φ (v) ; karena φ homomorfisma

= α (u+A) + α ( v+A)

α ((u+A)(v+A)) = α (uv + A )

= φ (uv )

= φ (u) φ (v) ; karena φ homomorfisma

= α ( u+A) α ( v+A ) Terbukti α homomorfisma.

Kedua, akan dibuktikan α pemetaan injektif.

Ambil u+A, v+A ∈ R/A dengan α ( u+A ) = α ( v+A ).

Ambil u+A ∈ Ker α. Maka α (u+A) = 0 = φ (u). Dari bentuk tersebut, berarti u ∈ Ker φ = A, u ∈ A. Sehingga diperoleh u+A = o+A = A, adalah identitas penjumlahan dari ring R/A. Maka Ker α = {0}.

α (u+A) = α (v+A) ⇒ α (u+A) -α (v+A) = 0 α ((u-v) + A) = 0; α homomorfisma.

φ ( u-v ) = 0 ⇒ u–v ∈ Ker φ

(u–v)+A ∈ Ker ⇒ (u–v)+A=0atau (u+A)–(V+A)=0 Akan dibuktikan α surjektif.

Diberikan s ∈ S. Diasumsikan bahwa φ surjektif, ada suatu r ∈ R dengan φ (r ) = s.

Maka α (r+A)= φ ( r ) = s.

Terbukti α surjektif. g

Teorema itu disebut Teorema Isomorfisma Pertama untuk ring karena teorema tersebut merupakan aturan dasar dalam mempelajari homomorfisma. Teorema tersebut dapat diartikan (diinterpretasikan) dengan menyatakan bahwa jika ring isomorfik tidak berbeda, maka hanya bayangan homomorfik dari ring R adalah ring-ring faktor R/A, dengan A adalah suatu ideal dari R.

Diberikan suatu penjelasan sebagai berikut dalam menggunakan teorema ini. Misalkan F suatu field dan φ :F → S adalah homomorfisma. Untuk menentukan beberapa informasi tentang S, perlu diketahui suatu

hal tentang ideal dari F. Setiap elemen taknol F mempunyai invers, maka suatu ideal taknol dari F memuat elemen identitas (satuan) dan oleh karena itu memuat setiap elemen dari F. Maka F hanya mempunyai dua ideal sederhana (trivial), sehingga hanya ada 2 kemungkinan untuk A = Ker φ. Jika A = <0> maka menurut teorema b.2 (dalam bab III), φ merupakan suatu isomorfisma yaitu S adalah field isomorfik dengan F. Alternatif lain, yaitu A = F, di mana F/A = F/F adalah suatu ring dengan hanya 1 elemen dengan setiap koset f + F = 0 + F. Maka dari teorema b.1 menyebabkan S adalah ring dengan 1 elemen. Dari uraian di atas dapat dirumuskan definisi berikut ini.

Definisi b.1. Diberikan R dan S suatu ring. Suatu isomorfisma dari R pada S adalah pemetaan θ :R → S yang merupakan pemetaan satu-satu dan onto dan memenuhi

θ (a+b) = θ(a) + θ(b)

dan θ(ab ) = θ(a) θ(b) untuk setiap a,b ∈ R. Jika ada isomorfisma dari R terhadap S, maka R dan S disebut isomorfik dan ditulis R ≈ S. 1

Dalam keadaan θ(a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b), operasi pada ruas kiri dalam setiap persamaan adalah operasi pada R dan operasi pada ruas kanan adalah dalam S. Karena dari operasi penjumlahan maka ring isomorfisma juga merupakan grup penjumlahan dari R ke S. Ini berarti θ(0) = 0 dan θ(-a) = -θ(a) untuk setiap a ∈ R. Contoh berikut menunjukkan bahwa suatu isomorfisma antara grup penjumlahan dari dua ring tidak selalu merupakan ring isomorfisma.

Definisi b.2. Diberikan R ring. Jika ada suatu bilangan bulat positif n sedemikian sehingga na = 0 untuk setiap a, maka bilangan bulat terkecil disebut karakteristik dari R. Jika tidak ada bilangan bulat positif, maka R disebut mempunyai karakteristik 0. �

Jika suatu ring mempunyai sebuah elemen satuan e dan karakteristik n ≠0 maka ne = 0. Di lain pihak, jika ne = 0 dan a ∈ R, maka na = n(ea) = (ne) a = 0a = 0. Maka, untuk suatu ring dengan satuan e, karakteristik dapat didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga ne = 0, jika ada suatu bilangan bulat maka ring mempunyai karakteristik 0.