Ring Faktor

Dalam bagian ini akan diuraikan ring-ring faktor. Berdasarkan pada uraian sebelumnya, jika A suatu ideal dari ring R, maka A adalah subgrup dari grup penjumlahan R ( yang komutatif) dan merupakan grup normal. Selanjutnya, akan diuraikan ring faktor R/A. Karena elemen-elemen R/A adalah koset-koset dari A, elemen-elemen tersebut dapat ditulis dalam bentuk I + r dengan r ∈ R. Dan R/A merupakan ring dijelaskan dalam teorema berikut. R/A = { r + A | r ∈ R } melambangkan himpunan kelas-kelas ekuivalensi dari R modulo A dengan A ideal. Atau menunjukkan himpunan koset-koset r + A. Beberapa sifat dari koset :

( i). u + A = v + A bila dan hanya bila u – v ∈ A (ii). (u + A) ∩ (v+A) ≠∅ bila dan hanya bila u + A = v+A.

Teorema a.1. Diberikan A suatu ideal dari ring R. Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan pada himpunan R/A dengan aturan

( u + A) + ( v +A ) = ( u+v) + A

( u + A ) ( v+ A) = uv + A Terhadap operasi tersebut R/A adalah suatu ring dan disebut ring faktor. Selanjutnya, pemetaan θ :R → R/A didefinisikan oleh θ (u) = u + A adalah homomorfisma dari R ke R/A. Bukti :

Beberapa syarat yang berkaitan dengan ring harus dibuktikan.

Akan dibuktikan sifat tertutup. Misalkan u + A = u1 +A dan v + A = v1+ A. Harus ditunjukkan bahwa uv + A= u1v1 + A dan ( u+v) + A= (u1 + v1) + A. Karena u + A = u1+ Amaka u – u1 ∈ A atau u ≡ u1 (mod. A). Dan v+A=v1+Amakav–v1 ∈ A atau v ≡ v1 ( mod.A). Menurut teorema a.1. pada bab III, ( u+v) ≡ (u1 + v1) (mod. A) dan uv ≡ u1v1 (mod. A). Maka (u+v)+A=(u1+v1)+Adanuv+A=u1v1+A. Akan dibuktikan satu dari aturan-aturan distributif. Diberikan u,v,w ∈ R.

(u+A) [ (v+A) + ( w+ A )] = ( u+A) [ ( u+w) + A ] = ( u (v+w)) + A = ( uv + uw) + A = (uv + A ) + ( uw+ A) = ( u+A) ( v+A) + ( u+A) ( w+A)

0+A = A adalah elemen identitas penjumlahan dari R/A dengan 0 ∈ R. Jika R mempunyai elemen identitas perkalian e, maka e + A adalah identitas perkalian dari R/A. Jika ring R komutatif maka setiap ring faktor R/A juga komutatif. Tetapi sebalikmya tidak benar. Ring R/A dapat komutatif meskipun R tidak komutatif. g

Ring faktor R/A belum tentu merupakan daerah integral meskipun R adalah daerah integral. Sebagai contoh, Z adalah daerah integral, padahal Z6 bukan daerah integral.

Teorema a.2. Jika R suatu ring dan A adalah ideal dari R, maka pemetaan φ :R → R/A didefinisikan sebagai φ (u) = u + A; untuk setiap u ∈ R; adalah homomorfisma dari R ke R/A dan Ker (φ ) = A.

Bukti :

Diberikan u,v ∈ R maka φ (uv ) = uv + A = (u+A)(v+A) = φ(u) φ(v) φ ( u+v) = ( u+v) + A= ( u+A)+ (v+A) = φ (u) + φ (v)

Ambil u ∈ Ker (φ ) maka u ∈ R dan φ(u) = 0 + A; 0+A elemen nol dari R/A.

φ (u ) = u+A = 0+A maka u ∈ A. Ambil u ∈ A, maka u ∈ R. Karena φ homomorfisma maka φ(u) = u+A. g