Ideal

Karena suatu daerah integral tidak mempunyai pembagi nol, maka himpunan dari elemen-elemen taknol tertutup terhadap perkalian. Dalam daerah integral dari bilangan rasional, setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian.

Definisi b.1. Suatu ring komutatif F dengan lebih dari 1 elemen dan mempunyai elemen satuan disebut field jika setiap elemen taknol dari F mempunyai invers perkalian dalam F. � Setiap elemen taknol dari suatu field mempunyai tepat satu invers perkalian. Invers perkalian dari elemen taknol r dari field dilambangkan dengan r ^–1 . Jika e adalah elemen satuan dari F, r^-1 adalah elemen tunggal F sedemikian sehingga

-1 -1

r.r =r .r=e Dalam cara lain, suatu field dapat diartikan sebagai daerah integral dengan setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Contoh lain dari field, selain ring bilangan rasional ada juga ring bilangan real. Hubungan antara suatu daerah integral dan field diberikan dalam teorema berikut.

Teorema b.1. Suatu field adalah daerah integral. Bukti :

Diberikan r dan s elemen-elemen dari field F sedemikian sehingga rs = 0. Jika r ≠ 0, r mempunyai invers perkalian r^-1 dalam F sehingga dipenuhi

r^-1 (r s) =( r^-1 r ) s = 1 s = s. Padahal,r^-1 (rs)=r ^–1 0=0. Maka s = 0, berarti telah dipenuhi bahwa r = 0 atau s = 0. Ini membuktikan bahwa F tidak mempunyai pembagi nol yang taknol (tidak mempunyai pembagi nol sejati) dan F memenuhi ciriciri daerah integral. g

Akibat teorema b.1. Jika R adalah subring dari field F dan R memuat elemen satuan dari F, maka R adalah daerah integral. Bukti :

Karena operasi penjumlahan dan perkalian dari elemen dalam R didefinisikan sama dengan operasi untuk F, maka R adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Selanjutnya, jika r dan s elemenelemen dari R dengan r s = 0, maka, karena r dan s juga berada di F, maka dipenuhi r = 0 atau s = 0. Oleh karena itu R adalah daerah integral. g

Teorema b.2. Jika r dan s adalah elemen dari field F dan r ≠ 0 maka ada elemen tunggal y ∈ F sedemikian sehingga r y = s. Selanjutnya, y = r ^–1 s. Bukti :

Jelas bahwa r^–1 s adalah penyelesaian dari persamaan r y = s, karena

r(r ^–1s)=(rr ^–1)s=1s=s. Untuk menunjukkan ketunggalan dari penyelesaian, misalkan ry1=sdan ry2=s.Makary1=ry2dankarenar ≠ 0, dengan hukum kanselasi perkalian diperoleh y1 = y2. g

Akibat dari teorema tersebut, menyebabkan ada field dengan orde berhingga.

Teorema c.3. Setiap daerah integral berhingga merupakan field. Bukti :

Diberikan 0, 1, a1, a2, ...., an merupakan elemen-elemen dari daerah integral berhingga D. Akan ditunjukkan bahwa untuk a ∈ D, dengan a ≠ 0, ada b ∈ D sedemikian sehingga ab = 1. Perhatikan a1, aa1, aa2, ....., aan. Diandaikan bahwa semua elemen tersebut (elemen dari D) berbeda, untuk a ai = a aj menyebabkan ai = aj , dengan hukum kanselasi yang berlaku pada daerah integral.

Karena D tidak mempunyai pembagi nol, tidak satupun dari elemen

– elemen tersebut adalah 0. Banyaknya anggota dari a1, aa1, aa2, ....., aan adalah tepat sebanyak n. Andaikan ai aj = ai ak maka ai (aj -ak) = 0, karena daerah integral tidak memuat pembagi nol sejati maka aj -ak = 0 , jadi aj = ak . Diperoleh a1, aa1, aa2, ....., aan adalah elemen-elemen 1, a1, a2, ...., an terurut, maka ada a1 = 1, yaitu a = 1 atau aai = 1 untuk suatu i. Terbukti a mempunyai invers perkalian. g

Definisi c.2. Suatu subset K dari field F adalah subfield dari F jika K sendiri merupakan field terhadap operasi pada F. �

Teorema c. 4. Suatu subset K dari field F adalah subfield dari F bila dan hanya bila a). K memuat elemen nol dan elemen satuan dari F. b). Jika a,b ∈ K maka a+b ∈ K dan ab ∈ K. c). Jika a ∈ K, maka –a ∈ K.

d). Jika a ∈ K dan a ≠ 0 maka a^-1∈K