Matematika2: Struktur Aljabar

Ring Homomorfisma

Definisi b.1 Diberikan R dan S ring-ring. Suatu pemetaan θ :R → S adalah homomorfisma jika memenuhi θ (a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b) untuk setiap a,b ∈ R S disebut bayangan homomorfik dari R. � Dalam bentuk θ (a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b), operasi pada ruas kiri adalah operasi pada ring R dan operasi ruas kanan merupakan operasi pada ring S. Karena θ :R → S adalah suatu ring homomorfisma maka θ (0R) = 0S dan θ(-a) = -θ(a), untuk setiap a ∈ R.
 Diberikan θ :K → L didefinisikan sebagai θ(a) = k, θ(b) = i, θ(c) = j, θ(d) = l. Pemetaan θ :K → L merupakan homomorfisma, karena sesuai dengan definisi homomorfisma. Sebagai contoh : θ(a+b) = θ(b) = i = k + i = θ(a) + θ(b) θ(a.b) = θ(a) = k = k.i = θ(a). θ(b) <table style="text-align: center; margin-bottom: 26px;"> <tbody><tr> <th colspan="7" style="text-align: left; width: 471px; height: 19px;"> Definisi b.2. </th> </tr> <tr> <th style="text-align: left; vertical-align: middle; width: 47px; height: 28px;"> Suatu </th> <td style="text-align: left; vertical-align: middle; width: 116px; height: 28px;"> homomorfisma </td> <td style="vertical-align: middle; width: 48px; height: 28px;"> yang </td> <td style="text-align: left; vertical-align: middle; width: 86px; height: 28px;"> memenuhi </td> <td style="text-align: left; vertical-align: middle; width: 83px; height: 28px;"> pemetaan </td> <td style="vertical-align: middle; width: 58px; height: 28px;"> injektif </td> <td style="text-align: right; vertical-align: middle; width: 33px; height: 28px;"> dan </td> </tr> <tr> <th colspan="4" style="text-align: left; vertical-align: bottom; width: 297px; height: 21px;"> pemetaan surjektif disebut isomorfisma. </th> <td style="text-align: left; vertical-align: middle; width: 83px; height: 21px;"> � </td> <td style="width: 58px; height: 21px;">
 </td><td style="text-align: left; width: 33px; height: 21px;">
 </td></tr> </tbody></table> Berikut ini akan disajikan secara lengkap sifat-sifat dari homomorfisma ring. Teorema b.1. Diberikan θ :R → S homomorfisma dari ring R terhadap ring S. Maka setiap pernyataan berikut ini dipenuhi : i). Jika 0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan dalam R (atau elemen nol dari R ) maka θ(0) adalah elemen identitas dari S. ii). Jika a ∈ R, maka θ(-a) = -θ(a). iii). 	Jika R mempunyai elemen satuan e dan θ merupakan suatu pemetaan onto (surjektif) maka S mempunyai θ(e) sebagai elemen satuan.
 iv). Misalkan R mempunyai elemen satuan dan θ pemetaan onto (surjektif). Jika a elemen dari R yang mempunyai invers perkalian maka θ(a-1)= θ(a)-1 . v). Jika R adalah ring komutatif dan θ merupakan pemetaan surjektif, maka S adalah ring komutatif. vi). Jika A merupakan subring dari R maka θ(A) adalah subring dari S. Bukti : iii). 	Akan ditunjukkan bahwa sθ(e) = θ(e)s = s untuk setiap elemen s ∈S. Diberikan s∈S. Karena θ surjektif, ada paling sedikit satu elemen r ∈ R sedemikian sehingga θ (r ) = s. Karena e elemen satuan R dan berlaku r e = e r = r, maka θ(re)= θ(er)= θ( r ). Dari perkalian pada pemetaan θ yang merupakan homomorfisma maka θ(re)= θ(r ) θ (e)= θ (e) θ(r) = θ (r) Sehingga berlaku s θ( e) = θ (e ) s = s, di mana θ( e ) elemen satuan S. vi).Diketahui A subring dari ring R. Berarti A merupakan grup penjumlahan. Himpunan θ(A) dengan operasi penjumlahan dalam S adalah subgrup dari S. Jika θ ( a1), θ( a2) ∈θ(A), a1, a2 ∈ A ⊆ S maka θ (a1) θ( a2) = θ( a1a2 ), karena θ homomorfisma. Padahal θ (a1a2 ) ∈θ(A). Maka θ (a1) θ( a2) ∈θ(A), sehingga θ(A) tertutup terhadap perkalian.
 Jadi θ(A) merupakan subring dari S. g Definisi b.3. Diberikan θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S. Kernel θ didefinisikan sebagai himpunan semua elemen r ∈ R sedemikian sehingga memenuhi θ (r) = 0S, di mana 0S adalah elemen identitas penjumlahan pada S. Dilambangkan dengan Ker (θ )={r ∈ R| θ ( r) = 0S }. � Dari definisi b.3. terlihat bahwa kernel dari homomorfisma θ adalah Kernel dari grup-grup homomorfisma dari ( R, +) ke ( S, +) yang dihubungkan dengan pemetaan θ. Untuk mempersingkat notasi, 0S dapat diganti dengan 0. Teorema b.2. Jika θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S, maka Ker (θ ) adalah ideal dari R. Selanjutnya, θ merupakan pemetaan injektif ( pemetaan satu-satu) bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Jika θ memetakan R ke S , maka θ adalah suatu isomorfisma bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Bukti : Untuk menunjukkan Ker (θ ) suatu ideal yaitu dengan membuktikan bahwa Ker (θ ) tertutup terhadap “ +” dan memenuhi definisi ideal. Diberikan a,b ∈ Ker (θ ) maka dipenuhi θ ( a) = 0 dan θ (b) = 0, a,b ∈ R. Maka θ (a + b) = θ ( a) + θ (b) =0+0=0 Jadi a + b ∈ Ker (θ ). Diberikan a ∈ Ker (θ ) dan r ∈ R. Maka θ (a ) = 0, a ∈ R.
 Diperoleh θ (ar) = θ (a) θ( r) = 0. θ (r) =0 Karena R ring dan a,r ∈ R maka ar ∈ R. Karena θ (ar ) =0 maka ar ∈ Ker (θ ) …………(1) Diperoleh θ (ra) = θ (r ). θ(a) = θ ( r ). 0 = 0 Karena θ ( ra ) = 0 maka ra ∈ Ker (θ ) ……….(2) Dari (1) dan (2) terbukti Ker (θ ) adalah ideal dari R. Teorema b.3. Diberikan θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S. θ merupakan pemetaan injektif ( pemetaan satu-satu) bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Jika θ memetakan R ke S , maka θ adalah suatu isomorfisma bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Bukti : Akan dibuktikan untuk bagian pertama. Misalkan θ pemetaan injektif. Diberikan a ∈ Ker (θ) , maka θ (a) = 0. Atau θ(a) = 0 = θ(0). Karena θ pemetaan injektif maka a = 0. Terbukti Ker (θ) = {0}. Misalkan Ker (θ) = {0}. Diberikan a,b ∈ R dengan θ(a) = θ(b). Maka θ(a) -θ(b) = 0. Karena θ homomorfisma maka θ(a) -θ(b) = θ (a – b ) =0. Sehingga a – b ∈ Ker (θ). Diketahui Ker (θ) ={0}, maka a – b = 0 atau a =b. Terbukti θ pemetaan injektif.
 Selanjutnya, dibuktikan untuk bagian kedua. Pembuktian bagian ini sudah termasuk dalam teorema b.3 bagian pertama, dengan mengingat pemetaan isomorfisma pasti injektif. Diketahui Ker (θ) = {0}. Sudah dibuktikan bahwa θ injektif. Akan dibuktikan θ surjektif. Ambil b ∈ S, b = b + θ(0). Maka θ ( b+0 ) = θ (b) + θ(0) = θ(b) + 0 = θ(b) Teorema b.4. Diberikan θ :R → S merupakan homomorfisma dari ring R ke ring S. Maka berlaku : Bayangan dari θ (Im(θ)) merupakan subring dari S dan Ker (θ) adalah ideal dari R. Bukti : Diberikan θ ( R ) bayangan dari θ. Karena R ring maka θ(R) tidak kosong. Diberikan s1, s2 ∈θ(R ). Maka s1 = θ(r1), s2 = θ(r2) ; r1, r2 ∈ R. Karena θ homomorfisma maka θ( r1 r2 ) = θ( r1) θ( r2 ) = s1 s2 . Karena r1r2 ∈ R maka s1s2 ∈θ( R ). Menurut teorema b.1.(ii) θ (-r2 ) = -θ( r2 ). Karena θ homomorfima maka θ( r1 + (-r2)) = θ (r1) + θ (-r2) = θ(r1) -θ(r2) =s1 – s2 Karena r1 + (-r2) ∈ R maka s1 – s2 ∈θ ( R).
 Diberikan R ring komutatif dengan elemen identitas e, dan a ∈R. Maka 〈 a 〉 = { ra | r ∈ R } adalah ideal dari R. 〈 a 〉 adalah subgrup dari grup penjumlahan R : (i). Jika r, s ∈ R, sedemikian sehingga ra, sa ∈ 〈 a 〉 maka ra +sa = (r +s) a ∈ 〈 a 〉 (ii). 0 =0a ∈ R. (iii). Negatif dari suatu elemen ra ∈ <> adalah (-r) a yang juga anggota dari <a>. Jika ra ∈ 〈a〉 dan s ∈ R, maka s ( ra) = (sr ) a ∈ 〈a〉 . Maka 〈a〉 adalah ideal dari R. Dengan ideal dari bentuk 〈a〉 disebut ideal utama. Ideal 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yang memuat a. Setiap ideal dari Z adalah ideal utama. Beberapa ring, seperti Z, mempunyai beberapa ideal. Ada beberapa ring yang tidak mempunyai ideal kecuali 〈0〉 dan ring itu sendiri.
 Jika F merupakan field maka F tidak mempunyai ideal kecuali 〈0〉 dan F. Bukti : Diandaikan bahwa I adalah ideal dari F dan I ≠ 〈0〉. Akan dibuktikan I = F. Diberikan a ∈ I, a ≠ 0. Maka a mempunyai invers dalam F karena F adalah field. Jika e elemen identitas dalam F, maka e = a a-1 ∈ I karena I ideal. Padahal jika r adalah suatu elemen dari F, maka r = e r ∈ I, karena I ideal. Hal ini menunjukkan bahwa I = F. g

Ring Homomorfisma

Definisi b.1 Diberikan R dan S ring-ring. Suatu pemetaan θ :R → S adalah homomorfisma jika memenuhi θ (a+b) = θ (a) + θ (b) dan θ (ab) = ...

Baca selengkapnya »

Teorema Isomorfisma Ring

Teorema b.1. Teorema Isomorfisma pertama Diberikan φ suatu homomorfisma dari ring R ke ring S dengan kernel A. Maka S adalah isomorfik dengan ring faktor R/A; dengan pemetaan α : R/A → S didefinisikan sebagai α(u+A) = φ(u) ; untuk setiap u+A ∈ R/A. Bukti : Sudah dibuktikan pada bab 3 dalam teorema b.2. bahwa A = Ker φ adalah ideal dari R. Maka dapat dibentuk ring faktor R/A. Akan ditunjukkan pemetaan α di atas tertutup (terdefinisi dengan baik). Ambil u+A, v+A ∈ R/A dengan u+A = v+A; u,v ∈ R. Berarti u – v ∈ A. Atau u = v + a; a ∈ A. Maka diperoleh φ ( u) = φ ( v+a ) = φ (v) + φ (a) ; karena φ homomorfisma. Karena a ∈ A; dengan A = ker φ ; maka φ (a) = 0. Sehingga φ (u) = φ (v). Selanjutnya, akan ditunjukkan α : R/A → S isomorfisma. Pertama, ditunjukkan bahwa α homomorfisma. α ((u+A)+(v+A)) = α ((u+v) + A) = φ (u+v) = φ (u) + φ (v) ; karena φ homomorfisma = α (u+A) + α ( v+A) α ((u+A)(v+A)) = α (uv + A ) = φ (uv ) = φ (u) φ (v) ; karena φ homomorfisma = α ( u+A) α ( v+A ) Terbukti α homomorfisma. Kedua, akan dibuktikan α pemetaan injektif. Ambil u+A, v+A ∈ R/A dengan α ( u+A ) = α ( v+A ). Ambil u+A ∈ Ker α. Maka α (u+A) = 0 = φ (u). Dari bentuk tersebut, berarti u ∈ Ker φ = A, u ∈ A. Sehingga diperoleh u+A = o+A = A, adalah identitas penjumlahan dari ring R/A. Maka Ker α = {0}. α (u+A) = α (v+A) ⇒ α (u+A) -α (v+A) = 0 α ((u-v) + A) = 0; α homomorfisma. φ ( u-v ) = 0 ⇒ u–v ∈ Ker φ (u–v)+A ∈ Ker ⇒ (u–v)+A=0atau (u+A)–(V+A)=0 Akan dibuktikan α surjektif. Diberikan s ∈ S. Diasumsikan bahwa φ surjektif, ada suatu r ∈ R dengan φ (r ) = s. Maka α (r+A)= φ ( r ) = s. Terbukti α surjektif. g Teorema itu disebut Teorema Isomorfisma Pertama untuk ring karena teorema tersebut merupakan aturan dasar dalam mempelajari homomorfisma. Teorema tersebut dapat diartikan (diinterpretasikan) dengan menyatakan bahwa jika ring isomorfik tidak berbeda, maka hanya bayangan homomorfik dari ring R adalah ring-ring faktor R/A, dengan A adalah suatu ideal dari R. Diberikan suatu penjelasan sebagai berikut dalam menggunakan teorema ini. Misalkan F suatu field dan φ :F → S adalah homomorfisma. Untuk menentukan beberapa informasi tentang S, perlu diketahui suatu hal tentang ideal dari F. Setiap elemen taknol F mempunyai invers, maka suatu ideal taknol dari F memuat elemen identitas (satuan) dan oleh karena itu memuat setiap elemen dari F. Maka F hanya mempunyai dua ideal sederhana (trivial), sehingga hanya ada 2 kemungkinan untuk A = Ker φ. Jika A = <0> maka menurut teorema b.2 (dalam bab III), φ merupakan suatu isomorfisma yaitu S adalah field isomorfik dengan F. Alternatif lain, yaitu A = F, di mana F/A = F/F adalah suatu ring dengan hanya 1 elemen dengan setiap koset f + F = 0 + F. Maka dari teorema b.1 menyebabkan S adalah ring dengan 1 elemen. Dari uraian di atas dapat dirumuskan definisi berikut ini. Definisi b.1. Diberikan R dan S suatu ring. Suatu isomorfisma dari R pada S adalah pemetaan θ :R → S yang merupakan pemetaan satu-satu dan onto dan memenuhi θ (a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab ) = θ(a) θ(b) untuk setiap a,b ∈ R. Jika ada isomorfisma dari R terhadap S, maka R dan S disebut isomorfik dan ditulis R ≈ S. 1 Dalam keadaan θ(a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b), operasi pada ruas kiri dalam setiap persamaan adalah operasi pada R dan operasi pada ruas kanan adalah dalam S. Karena dari operasi penjumlahan maka ring isomorfisma juga merupakan grup penjumlahan dari R ke S. Ini berarti θ(0) = 0 dan θ(-a) = -θ(a) untuk setiap a ∈ R. Contoh berikut menunjukkan bahwa suatu isomorfisma antara grup penjumlahan dari dua ring tidak selalu merupakan ring isomorfisma. Definisi b.2. Diberikan R ring. Jika ada suatu bilangan bulat positif n sedemikian sehingga na = 0 untuk setiap a, maka bilangan bulat terkecil disebut karakteristik dari R. Jika tidak ada bilangan bulat positif, maka R disebut mempunyai karakteristik 0. � Jika suatu ring mempunyai sebuah elemen satuan e dan karakteristik n ≠0 maka ne = 0. Di lain pihak, jika ne = 0 dan a ∈ R, maka na = n(ea) = (ne) a = 0a = 0. Maka, untuk suatu ring dengan satuan e, karakteristik dapat didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil n sedemikian sehingga ne = 0, jika ada suatu bilangan bulat maka ring mempunyai karakteristik 0.

Teorema Isomorfisma Ring

Teorema b.1. Teorema Isomorfisma pertam a Diberikan φ suatu homomorfisma dari ring R ke ring S dengan kernel A . Maka S adalah isomorfik ...

Baca selengkapnya »

Matematika2

Ring Homomorfisma

Teorema Isomorfisma Ring

Entri Populer

Arsip Blog

Komentar