Ring Homomorfisma

Definisi b.1 Diberikan R dan S ring-ring. Suatu pemetaan θ :R → S adalah homomorfisma jika memenuhi

θ (a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b) untuk setiap a,b ∈ R S disebut bayangan homomorfik dari R. �

Dalam bentuk θ (a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b), operasi pada ruas kiri adalah operasi pada ring R dan operasi ruas kanan merupakan operasi pada ring S. Karena θ :R → S adalah suatu ring homomorfisma maka θ (0R) = 0S dan θ(-a) = -θ(a), untuk setiap a ∈ R.

Diberikan θ :K → L didefinisikan sebagai

θ(a) = k, θ(b) = i, θ(c) = j, θ(d) = l. Pemetaan θ :K → L merupakan homomorfisma, karena sesuai dengan definisi homomorfisma. Sebagai contoh :

θ(a+b) = θ(b) = i = k + i = θ(a) + θ(b) θ(a.b) = θ(a) = k = k.i = θ(a). θ(b)

Definisi b.2.
Suatu	homomorfisma	yang	memenuhi	pemetaan	injektif	dan
pemetaan surjektif disebut isomorfisma.				�

Berikut ini akan disajikan secara lengkap sifat-sifat dari homomorfisma ring.

Teorema b.1. Diberikan θ :R → S homomorfisma dari ring R terhadap ring S. Maka setiap pernyataan berikut ini dipenuhi :

i). Jika 0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan dalam R

(atau elemen nol dari R ) maka θ(0) adalah elemen identitas dari

S. ii). Jika a ∈ R, maka θ(-a) = -θ(a).

iii). Jika R mempunyai elemen satuan e dan θ merupakan suatu pemetaan onto (surjektif) maka S mempunyai θ(e) sebagai elemen satuan.

iv). Misalkan R mempunyai elemen satuan dan θ pemetaan onto (surjektif). Jika a elemen dari R yang mempunyai invers perkalian maka

θ(a^-1)= θ(a)^-1 . v). Jika R adalah ring komutatif dan θ merupakan pemetaan surjektif, maka S adalah ring komutatif. vi). Jika A merupakan subring dari R maka θ(A) adalah subring dari

S.

Bukti :

iii). Akan ditunjukkan bahwa sθ(e) = θ(e)s = s untuk setiap elemen s ∈S. Diberikan s∈S. Karena θ surjektif, ada paling sedikit satu elemen r ∈ R sedemikian sehingga θ (r ) = s. Karena e elemen satuan R dan berlaku r e = e r = r, maka

θ(re)= θ(er)= θ( r ). Dari perkalian pada pemetaan θ yang merupakan homomorfisma maka θ(re)= θ(r ) θ (e)= θ (e) θ(r) = θ (r) Sehingga berlaku s θ( e) = θ (e ) s = s, di mana θ( e ) elemen satuan S.

vi).Diketahui A subring dari ring R. Berarti A merupakan grup penjumlahan. Himpunan θ(A) dengan operasi penjumlahan dalam S adalah subgrup dari S. Jika θ ( a1), θ( a2) ∈θ(A), a1, a2 ∈ A ⊆ S maka

θ (a1) θ( a2) = θ( a1a2 ), karena θ homomorfisma. Padahal θ (a1a2 ) ∈θ(A). Maka θ (a1) θ( a2) ∈θ(A), sehingga θ(A) tertutup terhadap perkalian.

Jadi θ(A) merupakan subring dari S. g

Definisi b.3. Diberikan θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S. Kernel θ didefinisikan sebagai himpunan semua elemen r ∈ R sedemikian sehingga memenuhi θ (r) = 0S, di mana 0S adalah elemen identitas penjumlahan pada S. Dilambangkan dengan Ker (θ )={r ∈ R| θ ( r) = 0S }. �

Dari definisi b.3. terlihat bahwa kernel dari homomorfisma θ adalah Kernel dari grup-grup homomorfisma dari ( R, +) ke ( S, +) yang dihubungkan dengan pemetaan θ. Untuk mempersingkat notasi, 0S dapat diganti dengan 0.

Teorema b.2. Jika θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S, maka Ker (θ ) adalah ideal dari R. Selanjutnya, θ merupakan pemetaan injektif ( pemetaan satu-satu) bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Jika θ memetakan R ke S , maka θ adalah suatu isomorfisma bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }.

Bukti : Untuk menunjukkan Ker (θ ) suatu ideal yaitu dengan membuktikan bahwa Ker (θ ) tertutup terhadap “ +” dan memenuhi definisi ideal. Diberikan a,b ∈ Ker (θ ) maka dipenuhi θ ( a) = 0 dan θ (b) = 0, a,b ∈ R. Maka θ (a + b) = θ ( a) + θ (b)

=0+0=0 Jadi a + b ∈ Ker (θ ). Diberikan a ∈ Ker (θ ) dan r ∈ R. Maka θ (a ) = 0, a ∈ R.

Diperoleh θ (ar) = θ (a) θ( r) = 0. θ (r) =0

Karena R ring dan a,r ∈ R maka ar ∈ R. Karena θ (ar ) =0 maka ar ∈ Ker (θ ) …………(1) Diperoleh θ (ra) = θ (r ). θ(a)

= θ ( r ). 0 = 0 Karena θ ( ra ) = 0 maka ra ∈ Ker (θ ) ……….(2) Dari (1) dan (2) terbukti Ker (θ ) adalah ideal dari R.

Teorema b.3. Diberikan θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S. θ merupakan pemetaan injektif ( pemetaan satu-satu) bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Jika θ memetakan R ke S , maka θ adalah suatu isomorfisma bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }.

Bukti : Akan dibuktikan untuk bagian pertama. Misalkan θ pemetaan injektif. Diberikan a ∈ Ker (θ) , maka θ (a) = 0. Atau θ(a) = 0 = θ(0). Karena θ pemetaan injektif maka a = 0. Terbukti Ker (θ) = {0}. Misalkan Ker (θ) = {0}. Diberikan a,b ∈ R dengan θ(a) = θ(b). Maka θ(a) -θ(b) = 0. Karena θ homomorfisma maka θ(a) -θ(b) = θ (a – b ) =0. Sehingga a – b ∈ Ker (θ). Diketahui Ker (θ) ={0}, maka a – b = 0 atau a =b. Terbukti θ pemetaan injektif.

Selanjutnya, dibuktikan untuk bagian kedua. Pembuktian bagian ini sudah termasuk dalam teorema b.3 bagian pertama, dengan mengingat pemetaan isomorfisma pasti injektif. Diketahui Ker (θ) = {0}. Sudah dibuktikan bahwa θ injektif. Akan dibuktikan θ surjektif. Ambil b ∈ S, b = b + θ(0). Maka θ ( b+0 ) = θ (b) + θ(0) = θ(b) + 0 = θ(b)

Teorema b.4. Diberikan θ :R → S merupakan homomorfisma dari ring R ke ring S. Maka berlaku : Bayangan dari θ (Im(θ)) merupakan subring dari S dan Ker (θ) adalah ideal dari R.

Bukti : Diberikan θ ( R ) bayangan dari θ. Karena R ring maka θ(R) tidak kosong. Diberikan s1, s2 ∈θ(R ). Maka s1 = θ(r1), s2 = θ(r2) ; r1, r2 ∈ R. Karena θ homomorfisma maka θ( r1 r2 ) = θ( r1) θ( r2 ) = s1 s2 . Karena r1r2 ∈ R maka s1s2 ∈θ( R ). Menurut teorema b.1.(ii) θ (-r2 ) = -θ( r2 ). Karena θ homomorfima maka θ( r1 + (-r2)) = θ (r1) + θ (-r2) = θ(r1) -θ(r2) =s1 – s2 Karena r1 + (-r2) ∈ R maka s1 – s2 ∈θ ( R).

Diberikan R ring komutatif dengan elemen identitas e, dan a ∈R. Maka 〈 a 〉 = { ra | r ∈ R } adalah ideal dari R. 〈 a 〉 adalah subgrup dari grup penjumlahan R :

(i). Jika r, s ∈ R, sedemikian sehingga ra, sa ∈ 〈 a 〉 maka ra +sa = (r +s) a ∈ 〈 a 〉 (ii). 0 =0a ∈ R. (iii). Negatif dari suatu elemen ra ∈ <> adalah (-r) a yang juga anggota dari .

Jika ra ∈ 〈a〉 dan s ∈ R, maka s ( ra) = (sr ) a ∈ 〈a〉 . Maka 〈a〉 adalah ideal dari R. Dengan ideal dari bentuk 〈a〉 disebut ideal utama. Ideal 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yang memuat a. Setiap ideal dari Z adalah ideal utama. Beberapa ring, seperti Z, mempunyai beberapa ideal. Ada beberapa ring yang tidak mempunyai ideal kecuali 〈0〉 dan ring itu sendiri.

Jika F merupakan field maka F tidak mempunyai ideal kecuali 〈0〉 dan F.

Bukti : Diandaikan bahwa I adalah ideal dari F dan I ≠ 〈0〉. Akan dibuktikan I = F. Diberikan a ∈ I, a ≠ 0. Maka a mempunyai invers dalam F karena F adalah field. Jika e elemen identitas dalam F, maka e = a a^-1 ∈ I karena I ideal. Padahal jika r adalah suatu elemen dari F, maka r = e r ∈ I, karena I ideal. Hal ini menunjukkan bahwa I = F. g