Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan dengan dua operasi dan bentuk tersebut dinamakan ring.

Definisi a.1. Suatu ring adalah suatu himpunan R tak kosong beserta dua operasi pada R, yang disebut penjumlahan (a+b) dan pergandaan (a.b), sedemikian sehingga setiap aksioma berikut dipenuhi : R dengan penjumlahan merupakan grup Abelian memenuhi

1. ∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a+b = c.
2. ∀ a,b,c ∈ R, (a+b)+c = a +(b+c)
3. ∀ a ∈ R, ∃ 0 ∈ R , a+0 = 0+a = a
4. ∀ a∈ R, ∃ -a ∈ R , a+(-a) = (-a)+a = 0

1. ∀ a,b ∈ R, a+b = b+a R dengan pergandaan memenuhi :
2. 1. ∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a.b = c.

∀ a,b,c ∈ R, (a.b).c = a.(b.c) R dengan komposisi kedua operasi memenuhi : ∀ a,b,c ∈ R, a.(b+c) = a.b+a.c dan (a+b).c = a.c+b.c

Karena suatu ring merupakan grup terhadap, sifat-sifat dasar dari ring yang berkaitan dengan penjumlahan termuat dalam sifat-sifat dasar grup terhadap penjumlahan. Sebagai contoh, hukum kanselasi dan hukum (a^-1)^-1 = a karena –(-a)=a. Teorema berikut memberikan ringkasan dari sifat tersebut. Sesuai kesepakatan dalam grup : jika n adalah bilangan bulat positif, maka

na = a+a+…+a (n suku) dan (-n)a = -(na)

Teorema a.1. Diberikan R ring. Elemen nol dari R adalah tunggal. Bukti :

Misal x,y ∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R berlaku a+x = a dan a+y=a. Jika diambil x∈R dengan y elemen nol maka x+y=x. Jika diambil y∈R dengan x elemen nol maka y+x=y. Karena x+y = y+x maka x=y. g

Teorema a.2. Setiap elemen dari R mempunyai negatif tunggal. (Invers penjumlahan dari setiap elemen dalam ring R adalah tunggal). Bukti :

Misalkan a+x = 0 dan a+y = 0 Maka a+x = a+y dengan kanselasi diperoleh x=y. g Teorema a.3. Hukum Kanselasi penjumlahan Jika a,b,c ∈ R maka berlaku

i). Jika a+c = b+c maka a=b ii). Jika c+a = c+b maka a=b Bukti :

Akan dibuktikan untuk (i). Diberikan a+c = b+c Menurut definisi grup, untuk c∈R, ada t∈R sedemikian sehingga c+t = 0. Maka untuk a+c = b+c diperoleh (a+c)+t = (b+c)+t Tetapi (a+c)+t = a+(c+t) = a + 0 = a. Akibatnya, (b+c)+t = b+(c+t) = b+0 = b Maka a=b. g

Teorema a.4. Jika a dan b adalah elemen dari suatu ring R, persamaan a+x=b mempunyai penyelesaian tunggal x = b-a dalam R. Bukti :

a+x = a +(b-a)= a+((-a)+b) = (a+(-a))+b = 0+b = b Ketunggalan dari penyelesaian tersebut ditunjukkan dengan hukum kanselasi berikut. Jika a+x = b dan a+y= b maka a+x = a+y. Mengakibatkan x=y. g

Karena setiap elemen a∈R mempunyai tepat satu invers penjumlahan, maka dapat disingkat b+(-a) dengan b-a. Karena a+(-a) = 0, dapat dilihat bahwa a adalah invers penjumlahan dari –a, yaitu –(-a) = a. Maka dapat diuraikan teorema berikut :

Teorema a.5. Untuk a,b,c elemen-elemen ring R berlaku i). –(-a) = a

ii). –(a+b) = -a–b iii). –(a-b) = -a+b iv). (a-b)-c = a-(b+c)

Teorema a.6. Suatu ring mempunyai tepat satu elemen satuan.

Bukti : Misal e,e’∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R, berlaku

ea = ae = a ……..(1) dan juga e’a = ae’ = a ………(2) Dengan cara yang sama, dari persamaan (1) berlaku juga untuk a=e’ sehingga dipunyai ee’ = e’e = e’ ……..(3) Dan untuk a=e dari persamaan (2) diperoleh

e’e = ee’ = e ………(4) Dari persamaan (3) dan (4) menyebabkan e=e’, sehingga hanya ada satu elemen satuan. g

Definisi a.2. Diberikan a elemen dari ring R dengan elemen satuan e. Jika ada elemen s dari R sedemikian sehingga as = sa = e, maka s disebut invers perkalian dari a. �

Terdapat perbedaan antara invers penjumlahan dan invers perkalian pada ring. Dalam ring dari himpunan bilangan real, setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Dalam ring bilangan bulat, ada tepat dua elemen yang mempunyai invers perkalian, yaitu 1 dan –1.

Teorema a.7. Jika a elemen ring R dengan elemen satuan e mempunyai invers perkalian, maka invers perkalian tersebut tunggal.

Bukti :

Misalkan bahwa s dan t adalah invers perkalian dari elemen a. Maka,dari definisi sa = e dan hukum asosiatif dari perkalian, maka

s(at) = (sa)t = et = t. Karena at = e, maka s(at) = se = s. Jadi s = t. g

Bila a mempunyai invers perkalian, maka menandakan invers perkaliannya dengan a^-1 .

Teorema a.8. Untuk setiap elemen a dari suatu ring R, dipunyai

a.0 = 0.a = 0

Bukti : Karena a+0 = a, maka a(a+0) = a.a Dari hukum distributif didapat a(a+0) = a.a + a.0 Sehingga a.a + a.0 = a.a. Dengan kanselasi maka a.0 = 0. g

Bila R adalah ring komutatif, maka dapat dibuktikan juga bahwa a.0 = 0. Jika R tidak komutatif,bukti bahwa 0.a = 0 dapat dengan mudah menggunakan bentuk lain dari hukum distributif.

Teorema a.9. Diberikan R ring, 0 elemen nol dari R dan a,b,c ∈R. i). a(-b)= (-a)b = -(ab)

ii). (-a)(-b) = ab iii). a(b-c) = ab – ac dan (a-b)c = ac – bc Bukti :

i). Diberikan a(b+(-b)) = a.0 = 0……(1) Dengan hukum distributif, diperoleh a(b+(-b)) = ab + a(-b) ……..(2) Dari (1) dan (2) diperoleh ab + a(-b) = 0.

Karena ab mempunyai invers penjumlahan tunggal yaitu –(ab) maka a(-b) = -(ab). Dengan cara yang sama dapat dibuktikan (-a)b = -(ab). ii). Dengan menggunakan teorema 9.i) di atas maka

(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) Karena ab adalah invers penjumlahan dari –(ab) maka –(-(ab)) = ab.

iii). Perhatikan bahwa b-c adalah notasi untuk b+(-c). Dan menggunakan teorema 9.i) dan hukum distributif maka diperoleh a(b-c) = a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab + -(ac) = ab-ac Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk (a-b)c = ac – bc. g

Suatu elemen e dalam ring R disebut elemen satuan (identitas terhadap operasi perkalian) dari ring jika ea = ae = a untuk setiap a∈R. Dalam keadaan tersebut elemen satuan adalah elemen identitas untuk perkalian. Bilangan 1 adalah elemen satuan untuk ring dari bilangan bulat. Ring dari himpunan bilangan bulat ganjil tidak mempunyai elemen satuan. Suatu ring R disebut komutatif jika ab = ba untuk setiap a,b ∈R. Jika ab ≠ ba untuk suatu a,b ∈ R, maka R tidak komutatif.

Definisi a.3. Jika R dan S adalah ring, suatu ring dengan elemen-elemennya adalah elemen dari himpunan hasilkali RxS, dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan sebagai berikut :

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S maka RxS disebut jumlahan langsung dari ring R dan S. �

Contoh :

Diberikan R dan S adalah ring dan RxS hasilkali Cartesius dari R dan S, yaitu himpunan dari semua pasangan terurut (r,s) dengan r∈R, s∈S. Maka RxS menjadi suatu ring dengan operasi berikut

(r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) dan (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk setiap r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S. Dalam contoh di atas ring RxS tidak komutatif. Ring RxS akan komutatif bila hanya bila R dan S keduanya komutatif.