Teorema mengenai Limiting Probability dan Irreducible

Teorema mengenai Limiting Probability

Definisi: πj⁽ⁿ⁾ adalah probabilitas suatu rantai Markov {Xn} berada dalam status j pada step ke n. Maka, πj⁽ⁿ⁾ = P[Xn = j]. Distribusi awal (intial) dari masing-masing status 0, 1, 2, .. dinyatakan sebagaiπj⁽⁰⁾ = P[X0 = j], untuk j = 0, 1, 2, ….

Suatu rantai Markov memiliki distribusi probabilitas stasionerπ = (π0, π1, π2, …, πn) apabila terpenuhi persamaanπ =πP asalkan setiap πi ≥ 0 dan _∑i π_i = 1.

Jika suatu rantai Markov homogen waktu (stasioner dari waktu ke aktu) yang irreducible, aperiodic, maka limit probabilitas

(n)

π _j = limπ _j , untuk j = 0, 1, …

n→∞

selalu ada dan independen dari distribusi probabilitas status awal π⁽⁰⁾ =

(0)(0)

(π0, π1,π2⁽⁰⁾, ….). Jika seluruh status tidak positive recurrent (jadi seluruhnya recurrent null atau seluruhnya transient), maka πj = 0 untuk semua j dan tidak terdapat distribusi probabilitas stasioner.

Teorema mengenai Irreducible

Jika {Xn} suatu rantai Markov, maka tepat salah satu kondisi berikut ini terjadi 1) Semua status adalah positive recurrent 2) Semua status recurrent null 3) Semua status transient