Sifat-sifat Bersahaja dari Ring

Definisi b.1. Misalkan R mempunyai elemen satuan e maka dengan a⁰ dimaksud e. Jika m bilangan bulat positif maka a^m dimaksud a.a…a dengan m faktor. Jika a∈R mempunyai invers maka dengan a^-m dimaksud (a^-1)^m. �

Teorema b.1. Diberikan suatu ring R dengan elemen satuan e dan untuk setiap a∈R mempunyai invers. Maka berlaku

i). a^-m = (a^m)^-1 untuk setiap bilangan bulat m. ii). a^m . a ⁿ = a ^m+n untuk setiap bilangan bulat m dan n. iii). (a^m)ⁿ = a ^mn untuk setiap bilangan bulat m dan n.

Bukti : Akan dibuktikan untuk yang kedua. Untuk m>0, n<0>

Apabila n<0 n="-p">

n m-p

Sehinggaa^m.a =a .a= a ^m. (a^-1)^p

-1 -1 -1

= a.a……a.a .a …. a

m-p m+n

=a=a g

Definisi b.2. Misalkan R suatu ring , a∈R dan m bilangan bulat positif. Maka ma didefinisikan sebagai a+a+…+a dengan m suku. �

Perhatikan bahwa ma tidak didefinisikan sebagai pergandaan dari m dengan a, sebab m adalah bilangan bulat positif (belum tentu m∈R) dan a∈R, yang belum tentu suatu bilangan. Pergandaan bilangan bulat positif m dengan a∈R tidak didefinisikan. m di atas adalah lambang untuk menjumlahkan a dengan dirinya sendiri sebanyak m suku.

Definisi b.3. Dengan (-m)a dimaksud invers dari ma terhadap jumlahan yaitu –(ma). �

Perhatikan bahwa (-m)a = -(ma) = -( a+a+...+a) = (-a)+(-a) +...+(-a) = m(-a). Sehingga didapat (-m)a = -(ma) = m(-a).

Definisi b.4. Dengan 0a, di mana 0 bilangan bulat, adalah elemen netral (elemen nol) dari ring R. Jadi 0a = 0. � Perhatikan bahwa dalam rumus 0a = 0, 0 di ruas kiri adalah bilangan bulat sedangkan 0 pada ruas kanan adalah elemen netral dari R terhadap penjumlahan. Teorema b.2.

Untuk setiap a,b ∈R dan m,n bilangan bulat berlaku i). ma + na = (m+n)a

ii). m(na) = (mn)a iii). m(a+b) = ma + mb iv). m(ab) = (ma)b = a(mb)

v). (ma)(nb) = (mn)(ab)

Bukti : Akan dibuktikan untuk m>0, n>0 . Karenama=a+a+…. +asebanyakmsukudan

na=a+a+…. +a sebanyaknsuku,maka

ma+na=a+a+…. +a sebanyakm+nsuku. Dan dapat ditulis sebagai ma + na = (m+n)a. Akan dibuktikan untuk m>0, n<0>. Apabila n<0 n =" -p">. m(na) = m((-p)a) = m(-(pa))

= -(pa) + (-(pa)) + ...+(-(pa)) = -(a+a+...) + .... + -(a+a+....+a) = (mp)(-a) = (-(mp))a = (m(-p))a = (mn)a

Bukti untuk bagian iii) dengan m>0, n>0 sebagai berikut.

m(a+b) = (a+b) + (a+b) + ….. + (a+b), sebanyak m suku. = ( a + a + … + a ) + ( b + b + …. + b ) = ma+mb

Adapun bukti untuk (v) adalah

(ma)(nb) = (a+a+....+a)(b+b+.....+b) = (a+a+....+a)b + (a+a+....+a)b + ......+ (a+a+...+a)b = (ab + ab + ...+ ab) + ....+ (ab + ab+...+ab)

Dalam setiap kelompok terdapat m suku, sedangkan ada n kelompok maka hasilnya adalah (mn)(ab). g

(ma)(nb) = (mn)(ab) bukan hukum komutatif dari pergandaan mn dengan ab. Sebab ma tidak berarti pergandaan dari m dengan a.