Subring ( Ring Bagian )

Definisi c.1. Suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R disebut subring dari R jika S adalah ring terhadap kedua operasi pada R. �

Contoh : Ring dari bilangan bulat genap adalah subring dari ring himpunan bilangan bulat. Dan ring dari bilangan bulat adalah subring dari ring bilangan rasional.

Syarat perlu cukup agar S merupakan subring diberikan dalam teorema berikut.

Teorema c.1. Diberikan R ring dan S suatu himpunan bagian tak kosong dari R. Maka S merupakan subring dari R bila dan hanya bila syarat berikut dipenuhi :

Untuk a,b∈R , ab ∈S dan a-b ∈S.

Bukti : Bila S merupakan subring dari ring R, berarti S adalah ring terhadap kedua operasi dari R. Maka dipenuhi : 1). Untuk setiap a,b ∈S, ab∈S. 2). Untuk setiap a,b ∈S, a+b ∈S 3). Untuk setiap a ∈S, -a ∈S g

Contoh : Diberikan F = M (R) melambangkan himpunan semua fungsi f : R → R. Diberikan (f+g) (x) = f(x) + g(x) ; untuk setiap x∈R.

(fg) (x) = f(x) g(x) ; untuk setiap x ∈R.

Dapat dibuktikan bahwa M(R) dengan kedua operasi tersebut merupakan ring. Misalkan terdapat S yang merupakan himpunan dari semua f∈F sedemikian sehingga f(1) = 0. Maka S adalah subring dari F. Karena memenuhi definisi subring. Himpunan S tak kosong karena 0F∈S. Karena 0F(x) = 0 untuk setiap x∈R. Demikian juga 0F(1) = 0 maka 0F∈S. Dan jika f dan g elemen dalam S maka

(f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0 (fg) (1) = f(1)g(1) = 0.0 = 0 Berarti f+g dan fg dalam S. Akhirnya, jika f(1) = 0 maka (-f)(1) = -f(1) = -0 = 0. Hal tersebut berarti, negatif dari setiap elemen S juga berada dalam S.