Matematika2

Masalah Penugasan Untuk Kasus Maksimasi Normal

Langkah Langkah a. Membuat Matriks keuntungan b. Matriks opportunity-loss Dengan mengurangkan seluruh elemen dalam tiap tiap baris dengan nilai maksimum dari baris yang sama, setelah itu hasil dari pengurangan di harga mutlakkan sehingga semua hasil dari pengurangan bernilai positif c. Matriks total-opportunity-loss Seluruh elemen dalam tiap kolom dikurangi dengan nilai minimum dari kolom yang sama, sehingga diperoleh matriks total-opportunity-loss d. Matriks test for optimalityKarena, jumlah garis = 4 sedangkan jumlah baris atau kolom = 5. Sehingga solusi belum layak, diperlukan revisi pada matriks. e. Matriks hasil revisi dan test-for-optimality Elemen terkecil yang belum terliput garis yaitu 2, digunakan untuk mengurangi seluruh elemen yang terliput garis. Kemudian, nilai ini juga ditambahkan pada elemen dengan dua garis berpotongan, yaitu 0, 0 dan 0 sehingga berturut turut menjadi 2, 2 dan 2. Karena, jumlah garis = 4, maka jumlah garis ≠ jumlah baris atau kolom yang ada, yaitu 5 (lima), sehingga solusi yang diperoleh belum layak, diperlukan revisi lagi pada matriks hasil revisi pertama, dengan langkah-langkah seperti sebelumnya. Dari matriks diatas, telah diperoleh suatu solusi optimum yang layak, sebab jumlah garis = jumlah baris atau kolom yang ada, yaitu 5 (lima). Pola penugasan optimum dengan penjualan total tertinggi tidak ada satupun SPG ditugaskan untuk menjual produk 3 (tiga). Dan pada pola penugasan optimum alternative, tidak ada satupun SPG yang ditugaskan untuk menjual produk 4 (empat).

Masalah Penugasan Untuk Kasus Maksimasi Normal

Langkah Langkah a. Membuat Matriks keuntungan b. Matriks opportunity-loss Dengan mengurangkan seluruh elemen dalam tiap tiap baris dengan ni...

Baca selengkapnya »

Masalah Penugasan Untuk Kasus Minimasi Normal

Masalah Penugasan Untuk Kasus Minimasi Normal

1. Mengubah matriks keuntungan menjadi matriks Opportunity–Loss. Dengan mengurangi seluruh elemen dengan elemen terbesar dari setiap baris. ...

Baca selengkapnya »

Masalah Penugasan Untuk Kasus Minimasi Tidak Normal

Langkah Langkah 1. Menambahkan baris dummy bila karyawan lebih sedikit daripada pekerjaannya atau menambahkan kolom dummy bila pekerjaan lebih sedikit jumlahnya daripada karyawan. Lalu mengubah matriks biaya menjadi matrik reduce cost matriks dengan cara memilih biaya terkecil setiap barisnya, kemudian mengurangi seluruh elemen biaya dalam baris itu dengan elemen biaya terkecil. 2. Setelah diperoleh tabel Reduce-Cost Matriks, kita cek apakah setiap kolom memiliki sedikitnya satu elemen bernilai nol (selain dummy E). Bila masih ada kolom yang belum mengandung nilai nol, maka kita cari elemen terkecil pada kolom yang belum mengandung nilai nol. Kemudian kurangi seluruh elemen pada kolom tersebut dengan elemen terkecil yang sudah ditentukan. Lakukan langkah tersebut, sampai diperoleh sedikitnya satu elemen bernilai nol pada setiap kolom. 3. Langkah selanjutnya adalah mencari skedul penugasan dengan suatu Total-Opportunity-Cost nol, yaitu dengan menarik sejumlah minimum garis horisontal dan/atau vertikal untuk meliputi seluruh elemen bernilai nol dalam total-opportunity cost sehingga diperoleh tabel test for optimality. 4. Jika pada tabel test for optimality jumlah garis belum mencapai jumlah baris atau kolom, maka dilakukan revisi. Caranya adalah dengan mengurangi seluruh elemen yang belum terliput oleh garis dengan elemen terkecil yang belum terliput oleh garis. Kemudian tambahkan seluruh elemen yang dialui oleh dua garis dengan elemen terkecil yang belum terliput oleh garis (kecuali elemen pada dummy). Ulangi langkah 3 dan 4 sehingga diperoleh jumlah garis yang sama dengan jumlah kolom atau baris. 5. Setelah diperoleh jumlah garis yang sama dengan jumlah kolom atau baris, maka matriks penugasan optimal telah tercapai. Kemudian pilih baris yang memiliki elemen bernilai nol paling sedikit. Kemudian pasangkan karyawan dengan pekerjaan yang elemennya bernilai nol pada baris yang telah dipilih, lalu diikuti dengan pasangan karyawan dengan pekerjaan yang lainnya. Sehingga diperoleh skedul penugasan optimal dengan biaya minimum.

Masalah Penugasan Untuk Kasus Minimasi Tidak Normal

Langkah Langkah 1. Menambahkan baris dummy bila karyawan lebih sedikit daripada pekerjaannya atau menambahkan kolom dummy bila pekerjaan leb...

Baca selengkapnya »

Pointer

Pointer

Pointer adalah suatu variabel penunjuk, berisi nilai yang menunjuk alamat suatu lokasi memori tertentu. Jadi pointer tidak berisi nilai da...

Baca selengkapnya »

Insertion Sort

Insertion Sort

-Mirip dengan cara orang mengurutkan kartu, selembar demi selembar kartu diambil dan disisipkan (insert) ke tempat yang seharusnya. -Penguru...

Baca selengkapnya »

Selection Sort

Selection Sort

-Merupakan kombinasi antara sorting dan searching -Untuk setiap proses, akan dicari elemen-elemen yang belum diurutkan yang memiliki nilai t...

Baca selengkapnya »

Exchange Sort

Exchange Sort

-Sangat mirip dengan Bubble Sort -Banyak yang mengatakan Bubble Sort sama dengan Exchange Sort -Pebedaan : dalam hal bagaimana membandingkan...

Baca selengkapnya »

Buble Sort

Metode sorting termudah -Diberi nama “Bubble” karena proses pengurutan secara berangsur-angsur bergerak/berpindah ke posisinya yang tepat, seperti gelembung yang keluar dari sebuah gelas bersoda. -Bubble Sort mengurutkan data dengan cara membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya. -Pengurutan Ascending :Jika elemen sekarang lebih besar dari elemen berikutnya maka kedua elemen tersebut ditukar. -Pengurutan Descending: Jika elemen sekarang lebih kecil dari elemen berikutnya, maka kedua elemen tersebut ditukar. -Algoritma ini seolah-olah menggeser satu per satu elemen dari kanan ke kiri atau kiri ke kanan, tergantung jenis pengurutannya. -Ketika satu proses telah selesai, maka bubble sort akan mengulangi proses, demikian seterusnya. -Kapan berhentinya? Bubble sort berhenti jika seluruh array telah diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan, serta tercapai perurutan yang telah diinginkan.

Buble Sort

Metode sorting termudah -Diberi nama “Bubble” karena proses pengurutan secara berangsur-angsur bergerak/berpindah ke posisinya yang tepat, s...

Baca selengkapnya »

Ring Homomorfisma

Definisi b.1 Diberikan R dan S ring-ring. Suatu pemetaan θ :R → S adalah homomorfisma jika memenuhi θ (a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b) untuk setiap a,b ∈ R S disebut bayangan homomorfik dari R. � Dalam bentuk θ (a+b) = θ(a) + θ(b) dan θ(ab) = θ(a) θ(b), operasi pada ruas kiri adalah operasi pada ring R dan operasi ruas kanan merupakan operasi pada ring S. Karena θ :R → S adalah suatu ring homomorfisma maka θ (0R) = 0S dan θ(-a) = -θ(a), untuk setiap a ∈ R.
 Diberikan θ :K → L didefinisikan sebagai θ(a) = k, θ(b) = i, θ(c) = j, θ(d) = l. Pemetaan θ :K → L merupakan homomorfisma, karena sesuai dengan definisi homomorfisma. Sebagai contoh : θ(a+b) = θ(b) = i = k + i = θ(a) + θ(b) θ(a.b) = θ(a) = k = k.i = θ(a). θ(b) <table style="text-align: center; margin-bottom: 26px;"> <tbody><tr> <th colspan="7" style="text-align: left; width: 471px; height: 19px;"> Definisi b.2. </th> </tr> <tr> <th style="text-align: left; vertical-align: middle; width: 47px; height: 28px;"> Suatu </th> <td style="text-align: left; vertical-align: middle; width: 116px; height: 28px;"> homomorfisma </td> <td style="vertical-align: middle; width: 48px; height: 28px;"> yang </td> <td style="text-align: left; vertical-align: middle; width: 86px; height: 28px;"> memenuhi </td> <td style="text-align: left; vertical-align: middle; width: 83px; height: 28px;"> pemetaan </td> <td style="vertical-align: middle; width: 58px; height: 28px;"> injektif </td> <td style="text-align: right; vertical-align: middle; width: 33px; height: 28px;"> dan </td> </tr> <tr> <th colspan="4" style="text-align: left; vertical-align: bottom; width: 297px; height: 21px;"> pemetaan surjektif disebut isomorfisma. </th> <td style="text-align: left; vertical-align: middle; width: 83px; height: 21px;"> � </td> <td style="width: 58px; height: 21px;">
 </td><td style="text-align: left; width: 33px; height: 21px;">
 </td></tr> </tbody></table> Berikut ini akan disajikan secara lengkap sifat-sifat dari homomorfisma ring. Teorema b.1. Diberikan θ :R → S homomorfisma dari ring R terhadap ring S. Maka setiap pernyataan berikut ini dipenuhi : i). Jika 0 adalah elemen identitas terhadap penjumlahan dalam R (atau elemen nol dari R ) maka θ(0) adalah elemen identitas dari S. ii). Jika a ∈ R, maka θ(-a) = -θ(a). iii). 	Jika R mempunyai elemen satuan e dan θ merupakan suatu pemetaan onto (surjektif) maka S mempunyai θ(e) sebagai elemen satuan.
 iv). Misalkan R mempunyai elemen satuan dan θ pemetaan onto (surjektif). Jika a elemen dari R yang mempunyai invers perkalian maka θ(a-1)= θ(a)-1 . v). Jika R adalah ring komutatif dan θ merupakan pemetaan surjektif, maka S adalah ring komutatif. vi). Jika A merupakan subring dari R maka θ(A) adalah subring dari S. Bukti : iii). 	Akan ditunjukkan bahwa sθ(e) = θ(e)s = s untuk setiap elemen s ∈S. Diberikan s∈S. Karena θ surjektif, ada paling sedikit satu elemen r ∈ R sedemikian sehingga θ (r ) = s. Karena e elemen satuan R dan berlaku r e = e r = r, maka θ(re)= θ(er)= θ( r ). Dari perkalian pada pemetaan θ yang merupakan homomorfisma maka θ(re)= θ(r ) θ (e)= θ (e) θ(r) = θ (r) Sehingga berlaku s θ( e) = θ (e ) s = s, di mana θ( e ) elemen satuan S. vi).Diketahui A subring dari ring R. Berarti A merupakan grup penjumlahan. Himpunan θ(A) dengan operasi penjumlahan dalam S adalah subgrup dari S. Jika θ ( a1), θ( a2) ∈θ(A), a1, a2 ∈ A ⊆ S maka θ (a1) θ( a2) = θ( a1a2 ), karena θ homomorfisma. Padahal θ (a1a2 ) ∈θ(A). Maka θ (a1) θ( a2) ∈θ(A), sehingga θ(A) tertutup terhadap perkalian.
 Jadi θ(A) merupakan subring dari S. g Definisi b.3. Diberikan θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S. Kernel θ didefinisikan sebagai himpunan semua elemen r ∈ R sedemikian sehingga memenuhi θ (r) = 0S, di mana 0S adalah elemen identitas penjumlahan pada S. Dilambangkan dengan Ker (θ )={r ∈ R| θ ( r) = 0S }. � Dari definisi b.3. terlihat bahwa kernel dari homomorfisma θ adalah Kernel dari grup-grup homomorfisma dari ( R, +) ke ( S, +) yang dihubungkan dengan pemetaan θ. Untuk mempersingkat notasi, 0S dapat diganti dengan 0. Teorema b.2. Jika θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S, maka Ker (θ ) adalah ideal dari R. Selanjutnya, θ merupakan pemetaan injektif ( pemetaan satu-satu) bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Jika θ memetakan R ke S , maka θ adalah suatu isomorfisma bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Bukti : Untuk menunjukkan Ker (θ ) suatu ideal yaitu dengan membuktikan bahwa Ker (θ ) tertutup terhadap “ +” dan memenuhi definisi ideal. Diberikan a,b ∈ Ker (θ ) maka dipenuhi θ ( a) = 0 dan θ (b) = 0, a,b ∈ R. Maka θ (a + b) = θ ( a) + θ (b) =0+0=0 Jadi a + b ∈ Ker (θ ). Diberikan a ∈ Ker (θ ) dan r ∈ R. Maka θ (a ) = 0, a ∈ R.
 Diperoleh θ (ar) = θ (a) θ( r) = 0. θ (r) =0 Karena R ring dan a,r ∈ R maka ar ∈ R. Karena θ (ar ) =0 maka ar ∈ Ker (θ ) …………(1) Diperoleh θ (ra) = θ (r ). θ(a) = θ ( r ). 0 = 0 Karena θ ( ra ) = 0 maka ra ∈ Ker (θ ) ……….(2) Dari (1) dan (2) terbukti Ker (θ ) adalah ideal dari R. Teorema b.3. Diberikan θ :R → S suatu homomorfisma dari ring R ke ring S. θ merupakan pemetaan injektif ( pemetaan satu-satu) bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Jika θ memetakan R ke S , maka θ adalah suatu isomorfisma bila dan hanya bila Ker (θ ) = { 0 }. Bukti : Akan dibuktikan untuk bagian pertama. Misalkan θ pemetaan injektif. Diberikan a ∈ Ker (θ) , maka θ (a) = 0. Atau θ(a) = 0 = θ(0). Karena θ pemetaan injektif maka a = 0. Terbukti Ker (θ) = {0}. Misalkan Ker (θ) = {0}. Diberikan a,b ∈ R dengan θ(a) = θ(b). Maka θ(a) -θ(b) = 0. Karena θ homomorfisma maka θ(a) -θ(b) = θ (a – b ) =0. Sehingga a – b ∈ Ker (θ). Diketahui Ker (θ) ={0}, maka a – b = 0 atau a =b. Terbukti θ pemetaan injektif.
 Selanjutnya, dibuktikan untuk bagian kedua. Pembuktian bagian ini sudah termasuk dalam teorema b.3 bagian pertama, dengan mengingat pemetaan isomorfisma pasti injektif. Diketahui Ker (θ) = {0}. Sudah dibuktikan bahwa θ injektif. Akan dibuktikan θ surjektif. Ambil b ∈ S, b = b + θ(0). Maka θ ( b+0 ) = θ (b) + θ(0) = θ(b) + 0 = θ(b) Teorema b.4. Diberikan θ :R → S merupakan homomorfisma dari ring R ke ring S. Maka berlaku : Bayangan dari θ (Im(θ)) merupakan subring dari S dan Ker (θ) adalah ideal dari R. Bukti : Diberikan θ ( R ) bayangan dari θ. Karena R ring maka θ(R) tidak kosong. Diberikan s1, s2 ∈θ(R ). Maka s1 = θ(r1), s2 = θ(r2) ; r1, r2 ∈ R. Karena θ homomorfisma maka θ( r1 r2 ) = θ( r1) θ( r2 ) = s1 s2 . Karena r1r2 ∈ R maka s1s2 ∈θ( R ). Menurut teorema b.1.(ii) θ (-r2 ) = -θ( r2 ). Karena θ homomorfima maka θ( r1 + (-r2)) = θ (r1) + θ (-r2) = θ(r1) -θ(r2) =s1 – s2 Karena r1 + (-r2) ∈ R maka s1 – s2 ∈θ ( R).
 Diberikan R ring komutatif dengan elemen identitas e, dan a ∈R. Maka 〈 a 〉 = { ra | r ∈ R } adalah ideal dari R. 〈 a 〉 adalah subgrup dari grup penjumlahan R : (i). Jika r, s ∈ R, sedemikian sehingga ra, sa ∈ 〈 a 〉 maka ra +sa = (r +s) a ∈ 〈 a 〉 (ii). 0 =0a ∈ R. (iii). Negatif dari suatu elemen ra ∈ <> adalah (-r) a yang juga anggota dari <a>. Jika ra ∈ 〈a〉 dan s ∈ R, maka s ( ra) = (sr ) a ∈ 〈a〉 . Maka 〈a〉 adalah ideal dari R. Dengan ideal dari bentuk 〈a〉 disebut ideal utama. Ideal 〈a〉 adalah ideal terkecil dari R yang memuat a. Setiap ideal dari Z adalah ideal utama. Beberapa ring, seperti Z, mempunyai beberapa ideal. Ada beberapa ring yang tidak mempunyai ideal kecuali 〈0〉 dan ring itu sendiri.
 Jika F merupakan field maka F tidak mempunyai ideal kecuali 〈0〉 dan F. Bukti : Diandaikan bahwa I adalah ideal dari F dan I ≠ 〈0〉. Akan dibuktikan I = F. Diberikan a ∈ I, a ≠ 0. Maka a mempunyai invers dalam F karena F adalah field. Jika e elemen identitas dalam F, maka e = a a-1 ∈ I karena I ideal. Padahal jika r adalah suatu elemen dari F, maka r = e r ∈ I, karena I ideal. Hal ini menunjukkan bahwa I = F. g

Ring Homomorfisma

Definisi b.1 Diberikan R dan S ring-ring. Suatu pemetaan θ :R → S adalah homomorfisma jika memenuhi θ (a+b) = θ (a) + θ (b) dan θ (ab) = ...

Baca selengkapnya »

Matematika2

Masalah Penugasan Untuk Kasus Maksimasi Normal

Masalah Penugasan Untuk Kasus Minimasi Normal

Masalah Penugasan Untuk Kasus Minimasi Tidak Normal

Pointer

Insertion Sort

Selection Sort

Exchange Sort

Buble Sort

Ring Homomorfisma

Entri Populer

Arsip Blog

Komentar