Matematika2

Ideal

Karena suatu daerah integral tidak mempunyai pembagi nol, maka himpunan dari elemen-elemen taknol tertutup terhadap perkalian. Dalam daerah integral dari bilangan rasional, setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Definisi b.1. Suatu ring komutatif F dengan lebih dari 1 elemen dan mempunyai elemen satuan disebut field jika setiap elemen taknol dari F mempunyai invers perkalian dalam F. � Setiap elemen taknol dari suatu field mempunyai tepat satu invers perkalian. Invers perkalian dari elemen taknol r dari field dilambangkan dengan r –1 . Jika e adalah elemen satuan dari F, r-1 adalah elemen tunggal F sedemikian sehingga -1 -1 r.r =r .r=e Dalam cara lain, suatu field dapat diartikan sebagai daerah integral dengan setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Contoh lain dari field, selain ring bilangan rasional ada juga ring bilangan real. Hubungan antara suatu daerah integral dan field diberikan dalam teorema berikut. Teorema b.1. Suatu field adalah daerah integral. Bukti : Diberikan r dan s elemen-elemen dari field F sedemikian sehingga rs = 0. Jika r ≠ 0, r mempunyai invers perkalian r-1 dalam F sehingga dipenuhi r-1 (r s) =( r-1 r ) s = 1 s = s. Padahal,r-1 (rs)=r –1 0=0. Maka s = 0, berarti telah dipenuhi bahwa r = 0 atau s = 0. Ini membuktikan bahwa F tidak mempunyai pembagi nol yang taknol (tidak mempunyai pembagi nol sejati) dan F memenuhi ciriciri daerah integral. g Akibat teorema b.1. Jika R adalah subring dari field F dan R memuat elemen satuan dari F, maka R adalah daerah integral. Bukti : Karena operasi penjumlahan dan perkalian dari elemen dalam R didefinisikan sama dengan operasi untuk F, maka R adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Selanjutnya, jika r dan s elemenelemen dari R dengan r s = 0, maka, karena r dan s juga berada di F, maka dipenuhi r = 0 atau s = 0. Oleh karena itu R adalah daerah integral. g Teorema b.2. Jika r dan s adalah elemen dari field F dan r ≠ 0 maka ada elemen tunggal y ∈ F sedemikian sehingga r y = s. Selanjutnya, y = r –1 s. Bukti : Jelas bahwa r–1 s adalah penyelesaian dari persamaan r y = s, karena r(r –1s)=(rr –1)s=1s=s. Untuk menunjukkan ketunggalan dari penyelesaian, misalkan ry1=sdan ry2=s.Makary1=ry2dankarenar ≠ 0, dengan hukum kanselasi perkalian diperoleh y1 = y2. g Akibat dari teorema tersebut, menyebabkan ada field dengan orde berhingga. Teorema c.3. Setiap daerah integral berhingga merupakan field. Bukti : Diberikan 0, 1, a1, a2, ...., an merupakan elemen-elemen dari daerah integral berhingga D. Akan ditunjukkan bahwa untuk a ∈ D, dengan a ≠ 0, ada b ∈ D sedemikian sehingga ab = 1. Perhatikan a1, aa1, aa2, ....., aan. Diandaikan bahwa semua elemen tersebut (elemen dari D) berbeda, untuk a ai = a aj menyebabkan ai = aj , dengan hukum kanselasi yang berlaku pada daerah integral. Karena D tidak mempunyai pembagi nol, tidak satupun dari elemen – elemen tersebut adalah 0. Banyaknya anggota dari a1, aa1, aa2, ....., aan adalah tepat sebanyak n. Andaikan ai aj = ai ak maka ai (aj -ak) = 0, karena daerah integral tidak memuat pembagi nol sejati maka aj -ak = 0 , jadi aj = ak . Diperoleh a1, aa1, aa2, ....., aan adalah elemen-elemen 1, a1, a2, ...., an terurut, maka ada a1 = 1, yaitu a = 1 atau aai = 1 untuk suatu i. Terbukti a mempunyai invers perkalian. g Definisi c.2. Suatu subset K dari field F adalah subfield dari F jika K sendiri merupakan field terhadap operasi pada F. � Teorema c. 4. Suatu subset K dari field F adalah subfield dari F bila dan hanya bila a). K memuat elemen nol dan elemen satuan dari F. b). Jika a,b ∈ K maka a+b ∈ K dan ab ∈ K. c). Jika a ∈ K, maka –a ∈ K. d). Jika a ∈ K dan a ≠ 0 maka a-1∈K

Ideal

Karena suatu daerah integral tidak mempunyai pembagi nol, maka himpunan dari elemen-elemen taknol tertutup terhadap perkalian. Dalam daerah integral dari bilangan rasional, setiap elemen taknol mempu…

Baca selengkapnya »

11 Jan 2009

Daerah Integral

Definisi a.1. Suatu elemen a dari ring R disebut pembagi nol kiri jika terdapat elemen taknol c dalam R sedemikian sehingga ac = 0. Sedangkan analog dengan di atas, a∈R disebut pembagi nol kanan jika terdapat elemen taknol d dalam R sedemikian sehingga da = 0. Jika ada b∈R, b ≠ 0 sedemikian sehingga ab = ba = 0 maka a disebut pembagi nol (divisor of zero). � Dalam setiap ring, elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu 0, merupakan pembagi nol. Karena 0a = a0 = 0 dengan a ≠0. Apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena untuk setiap b∈R, eb = be = b. Definisi a.2. Suatu pembagi nol a disebut pembagi nol sejati (proper divisor of zero), bila dan hanya bila a ≠0. � Dalam himpunan bilangan bulat telah diketahui bahwa jika a,b ∈Z dan ab = 0 maka pasti a = 0 atau b = 0. Sehingga ring dari bilangan bulat tidak memuat pembagi nol sejati. Sebaliknya terdapat juga ring-ring yang memuat pembagi nol sejati. Misalkan ring dari bilangan bulat modulo 6 ( Z6), sebagai contoh, [2], [3] ∈Z6, [2] ⊗ [3] = [0] dengan [2] ≠ [0] dan [3] ≠ [0], [2] dan [3] adalah pembagi nol. Demikian juga ring dari matriks berordo 2x2 memuat pembagi nol sejati Definisi a.3. Suatu ring R tidak memuat pembagi nol sejati bila dan hanya bila untuk setiap a,b ∈R, jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0. Atau dengan kontraposisi : a ≠0 dan b ≠ 0 ⇒ ab ≠ 0. � Teorema a.1. Hukum Kanselasi pada Perkalian. Jika a bukan pembagi nol dalam ring R, maka sifat berikut ini berlaku : i). Jika b,c ∈R sedemikian sehingga ab = ac maka b = c. ii). Jika b,c ∈R sedemikian sehingga ba = ca maka b = c. Bukti : Akan dibuktikan untuk (i). Jika ab = ac maka ab – ac = 0 dan a(b-c) = 0. Karena a bukan pembagi nol, maka b – c = 0, sehingga b = c. Untuk (ii) dibuktikan analog. Teorema a.2. Diberikan a dan b elemen ring R. Jika a dan b bukan pembagi nol ring R maka ab bukan pembagi nol. Bukti : Diberikan a dan b bukan pembagi nol. Akan dibuktikan ab bukan pembagi nol. Diandaikan ab merupakan pembagi nol kiri. Maka terdapat c∈R, c≠0 sedemikian sehingga (ab)c = 0. Tetapi (ab)c = a(bc). Karena a bukan pembagi nol dan a(bc) = 0 maka bc = 0. Karena b bukan pembagi nol dan bc = 0 maka c = 0. Kontradiksi dengan pengandaian c≠0. Maka pengandaian harus diingkar. Jadi c = 0. g Untuk selanjutnya, akan diberikan suatu ring yang tidak mempunyai pembagi nol yang tidak sama dengan nol (atau pembagi nol sejati), yang disebut daerah integral. Definisi a.4. Suatu ring D dengan lebih dari 1 elemen disebut daerah integral jika memenuhi sifat komutatif, mempunyai elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol yang tidak sama dengan nol (tidak memuat pembagi nol sejati). � Cara lain untuk menyatakan bahwa ring D tidak mempunyai pembagi nol sejati adalah dengan menggunakan pernyataan berikut : Jika r , s ∈D sedemikian sehingga rs = 0 maka r = 0 atau s =0. Dari definisi tentang daerah integral, hukum kanselasi perkalian (teorema 1) selalu benar untuk a ≠ 0. Contoh yang tidak asing dari daerah integral adalah ring-ring bilangan bulat, bilangan real dan bilangan kompleks. Teorema a.3. Sifat Kanselasi Kiri. Jika D adalah daerah integral a,b,c ∈ D,a ≠ 0 dan ab = ac maka b = c . Bukti : Diketahui ab = ac maka diperoleh ab – ac = 0. Sehingga a(b-c) = 0. Karena a ≠ 0, a elemen taknol dari daerah integral D maka a bukan pembagi nol. Sehingga didapat b – c = 0 dan b = c. g Karena perkalian bersifat komutatif dalam suatu daerah integral, maka sifat kanselasi kiri dalam teorema a.3. ekuivalen dengan sifat kanselasi kanan, yaitu : Jika a ≠ 0 dan ba = ca maka b = c. Selanjutnya, untuk ring komutatif dengan sifat kanselasi menyebabkan ring tersebut tidak mempunyai pembagi nol. Definisi lain dari daerah integral adalah : Daerah integral adalah suatu ring komutatif D dengan elemen satuan e ≠ 0 sedemikian sehingga jika a,b,c ∈ D, ab = ac dan a ≠ 0 maka b = c.

Daerah Integral

Definisi a.1. Suatu elemen a dari ring R disebut pembagi nol kiri jika terdapat elemen taknol c dalam R sedemikian sehingga ac = 0. Sedangkan analog dengan di atas, a∈R disebut pembagi nol kanan jika…

Baca selengkapnya »

11 Jan 2009

Subring ( Ring Bagian )

Definisi c.1. Suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R disebut subring dari R jika S adalah ring terhadap kedua operasi pada R. � Contoh : Ring dari bilangan bulat genap adalah subring dari ring himpunan bilangan bulat. Dan ring dari bilangan bulat adalah subring dari ring bilangan rasional. Syarat perlu cukup agar S merupakan subring diberikan dalam teorema berikut. Teorema c.1. Diberikan R ring dan S suatu himpunan bagian tak kosong dari R. Maka S merupakan subring dari R bila dan hanya bila syarat berikut dipenuhi : Untuk a,b∈R , ab ∈S dan a-b ∈S. Bukti : Bila S merupakan subring dari ring R, berarti S adalah ring terhadap kedua operasi dari R. Maka dipenuhi : 1). Untuk setiap a,b ∈S, ab∈S. 2). Untuk setiap a,b ∈S, a+b ∈S 3). Untuk setiap a ∈S, -a ∈S g Contoh : Diberikan F = M (R) melambangkan himpunan semua fungsi f : R → R. Diberikan (f+g) (x) = f(x) + g(x) ; untuk setiap x∈R. (fg) (x) = f(x) g(x) ; untuk setiap x ∈R. Dapat dibuktikan bahwa M(R) dengan kedua operasi tersebut merupakan ring. Misalkan terdapat S yang merupakan himpunan dari semua f∈F sedemikian sehingga f(1) = 0. Maka S adalah subring dari F. Karena memenuhi definisi subring. Himpunan S tak kosong karena 0F∈S. Karena 0F(x) = 0 untuk setiap x∈R. Demikian juga 0F(1) = 0 maka 0F∈S. Dan jika f dan g elemen dalam S maka (f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0 (fg) (1) = f(1)g(1) = 0.0 = 0 Berarti f+g dan fg dalam S. Akhirnya, jika f(1) = 0 maka (-f)(1) = -f(1) = -0 = 0. Hal tersebut berarti, negatif dari setiap elemen S juga berada dalam S.

Subring ( Ring Bagian )

Definisi c.1. Suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R disebut subring dari R jika S adalah ring terhadap kedua operasi pada R. � Contoh : Ring dari bilangan bulat genap adalah subring da…

Baca selengkapnya »

11 Jan 2009

Sifat-sifat Bersahaja dari Ring

Definisi b.1. Misalkan R mempunyai elemen satuan e maka dengan a0 dimaksud e. Jika m bilangan bulat positif maka am dimaksud a.a…a dengan m faktor. Jika a∈R mempunyai invers maka dengan a-m dimaksud (a-1)m. � Teorema b.1. Diberikan suatu ring R dengan elemen satuan e dan untuk setiap a∈R mempunyai invers. Maka berlaku i). a-m = (am)-1 untuk setiap bilangan bulat m. ii). am . a n = a m+n untuk setiap bilangan bulat m dan n. iii). (am)n = a mn untuk setiap bilangan bulat m dan n. Bukti : Akan dibuktikan untuk yang kedua. Untuk m>0, n<0> Apabila n<0 n="-p"> n m-p Sehinggaam.a =a .a= a m. (a-1)p -1 -1 -1 = a.a……a.a .a …. a m-p m+n =a=a g Definisi b.2. Misalkan R suatu ring , a∈R dan m bilangan bulat positif. Maka ma didefinisikan sebagai a+a+…+a dengan m suku. � Perhatikan bahwa ma tidak didefinisikan sebagai pergandaan dari m dengan a, sebab m adalah bilangan bulat positif (belum tentu m∈R) dan a∈R, yang belum tentu suatu bilangan. Pergandaan bilangan bulat positif m dengan a∈R tidak didefinisikan. m di atas adalah lambang untuk menjumlahkan a dengan dirinya sendiri sebanyak m suku. Definisi b.3. Dengan (-m)a dimaksud invers dari ma terhadap jumlahan yaitu –(ma). � Perhatikan bahwa (-m)a = -(ma) = -( a+a+...+a) = (-a)+(-a) +...+(-a) = m(-a). Sehingga didapat (-m)a = -(ma) = m(-a). Definisi b.4. Dengan 0a, di mana 0 bilangan bulat, adalah elemen netral (elemen nol) dari ring R. Jadi 0a = 0. � Perhatikan bahwa dalam rumus 0a = 0, 0 di ruas kiri adalah bilangan bulat sedangkan 0 pada ruas kanan adalah elemen netral dari R terhadap penjumlahan. Teorema b.2. Untuk setiap a,b ∈R dan m,n bilangan bulat berlaku i). ma + na = (m+n)a ii). m(na) = (mn)a iii). m(a+b) = ma + mb iv). m(ab) = (ma)b = a(mb) v). (ma)(nb) = (mn)(ab) Bukti : Akan dibuktikan untuk m>0, n>0 . Karenama=a+a+…. +asebanyakmsukudan na=a+a+…. +a sebanyaknsuku,maka ma+na=a+a+…. +a sebanyakm+nsuku. Dan dapat ditulis sebagai ma + na = (m+n)a. Akan dibuktikan untuk m>0, n<0>. Apabila n<0 n =" -p">. m(na) = m((-p)a) = m(-(pa)) = -(pa) + (-(pa)) + ...+(-(pa)) = -(a+a+...) + .... + -(a+a+....+a) = (mp)(-a) = (-(mp))a = (m(-p))a = (mn)a Bukti untuk bagian iii) dengan m>0, n>0 sebagai berikut. m(a+b) = (a+b) + (a+b) + ….. + (a+b), sebanyak m suku. = ( a + a + … + a ) + ( b + b + …. + b ) = ma+mb Adapun bukti untuk (v) adalah (ma)(nb) = (a+a+....+a)(b+b+.....+b) = (a+a+....+a)b + (a+a+....+a)b + ......+ (a+a+...+a)b = (ab + ab + ...+ ab) + ....+ (ab + ab+...+ab) Dalam setiap kelompok terdapat m suku, sedangkan ada n kelompok maka hasilnya adalah (mn)(ab). g (ma)(nb) = (mn)(ab) bukan hukum komutatif dari pergandaan mn dengan ab. Sebab ma tidak berarti pergandaan dari m dengan a.

Sifat-sifat Bersahaja dari Ring

Definisi b.1. Misalkan R mempunyai elemen satuan e maka dengan a0 dimaksud e. Jika m bilangan bulat positif maka am dimaksud a.a…a dengan m faktor. Jika a∈R mempunyai invers maka dengan a-m dimaks…

Baca selengkapnya »

11 Jan 2009

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan dengan dua operasi dan bentuk tersebut dinamakan ring. Definisi a.1. Suatu ring adalah suatu himpunan R tak kosong beserta dua operasi pada R, yang disebut penjumlahan (a+b) dan pergandaan (a.b), sedemikian sehingga setiap aksioma berikut dipenuhi : R dengan penjumlahan merupakan grup Abelian memenuhi <ol style="list-style-type: decimal;"><li> ∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a+b = c. </li><li> ∀ a,b,c ∈ R, (a+b)+c = a +(b+c) </li><li> ∀ a ∈ R, ∃ 0 ∈ R , a+0 = 0+a = a </li><li> ∀ a∈ R, ∃ -a ∈ R , a+(-a) = (-a)+a = 0 </li></ol> <ol style="list-style-type: decimal;"><li style="margin-left: 0px; text-indent: 22px; line-height: 27px;"> ∀ a,b ∈ R, a+b = b+a R dengan pergandaan memenuhi : </li><li style="margin-left: 45px; text-indent: -21px; line-height: 26px;"> 1. ∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a.b = c. </li></ol> ∀ a,b,c ∈ R, (a.b).c = a.(b.c) R dengan komposisi kedua operasi memenuhi : ∀ a,b,c ∈ R, a.(b+c) = a.b+a.c dan (a+b).c = a.c+b.c Karena suatu ring merupakan grup terhadap, sifat-sifat dasar dari ring yang berkaitan dengan penjumlahan termuat dalam sifat-sifat dasar grup terhadap penjumlahan. Sebagai contoh, hukum kanselasi dan hukum (a-1)-1 = a karena –(-a)=a. Teorema berikut memberikan ringkasan dari sifat tersebut. Sesuai kesepakatan dalam grup : jika n adalah bilangan bulat positif, maka na = a+a+…+a (n suku) dan (-n)a = -(na) Teorema a.1. Diberikan R ring. Elemen nol dari R adalah tunggal. Bukti : Misal x,y ∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R berlaku a+x = a dan a+y=a. Jika diambil x∈R dengan y elemen nol maka x+y=x. Jika diambil y∈R dengan x elemen nol maka y+x=y. Karena x+y = y+x maka x=y. g Teorema a.2. Setiap elemen dari R mempunyai negatif tunggal. (Invers penjumlahan dari setiap elemen dalam ring R adalah tunggal). Bukti : Misalkan a+x = 0 dan a+y = 0 Maka a+x = a+y dengan kanselasi diperoleh x=y. g Teorema a.3. Hukum Kanselasi penjumlahan Jika a,b,c ∈ R maka berlaku i). Jika a+c = b+c maka a=b ii). Jika c+a = c+b maka a=b Bukti : Akan dibuktikan untuk (i). Diberikan a+c = b+c Menurut definisi grup, untuk c∈R, ada t∈R sedemikian sehingga c+t = 0. Maka untuk a+c = b+c diperoleh (a+c)+t = (b+c)+t Tetapi (a+c)+t = a+(c+t) = a + 0 = a. Akibatnya, (b+c)+t = b+(c+t) = b+0 = b Maka a=b. g Teorema a.4. Jika a dan b adalah elemen dari suatu ring R, persamaan a+x=b mempunyai penyelesaian tunggal x = b-a dalam R. Bukti : a+x = a +(b-a)= a+((-a)+b) = (a+(-a))+b = 0+b = b Ketunggalan dari penyelesaian tersebut ditunjukkan dengan hukum kanselasi berikut. Jika a+x = b dan a+y= b maka a+x = a+y. Mengakibatkan x=y. g Karena setiap elemen a∈R mempunyai tepat satu invers penjumlahan, maka dapat disingkat b+(-a) dengan b-a. Karena a+(-a) = 0, dapat dilihat bahwa a adalah invers penjumlahan dari –a, yaitu –(-a) = a. Maka dapat diuraikan teorema berikut : Teorema a.5. Untuk a,b,c elemen-elemen ring R berlaku i). –(-a) = a ii). –(a+b) = -a–b iii). –(a-b) = -a+b iv). (a-b)-c = a-(b+c) Teorema a.6. Suatu ring mempunyai tepat satu elemen satuan. Bukti : Misal e,e’∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R, berlaku ea = ae = a ……..(1) dan juga e’a = ae’ = a ………(2) Dengan cara yang sama, dari persamaan (1) berlaku juga untuk a=e’ sehingga dipunyai ee’ = e’e = e’ ……..(3) Dan untuk a=e dari persamaan (2) diperoleh e’e = ee’ = e ………(4) Dari persamaan (3) dan (4) menyebabkan e=e’, sehingga hanya ada satu elemen satuan. g Definisi a.2. Diberikan a elemen dari ring R dengan elemen satuan e. Jika ada elemen s dari R sedemikian sehingga as = sa = e, maka s disebut invers perkalian dari a. � Terdapat perbedaan antara invers penjumlahan dan invers perkalian pada ring. Dalam ring dari himpunan bilangan real, setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Dalam ring bilangan bulat, ada tepat dua elemen yang mempunyai invers perkalian, yaitu 1 dan –1. Teorema a.7. Jika a elemen ring R dengan elemen satuan e mempunyai invers perkalian, maka invers perkalian tersebut tunggal. Bukti : Misalkan bahwa s dan t adalah invers perkalian dari elemen a. Maka,dari definisi sa = e dan hukum asosiatif dari perkalian, maka s(at) = (sa)t = et = t. Karena at = e, maka s(at) = se = s. Jadi s = t. g Bila a mempunyai invers perkalian, maka menandakan invers perkaliannya dengan a-1 . Teorema a.8. Untuk setiap elemen a dari suatu ring R, dipunyai a.0 = 0.a = 0 Bukti : Karena a+0 = a, maka a(a+0) = a.a Dari hukum distributif didapat a(a+0) = a.a + a.0 Sehingga a.a + a.0 = a.a. Dengan kanselasi maka a.0 = 0. g Bila R adalah ring komutatif, maka dapat dibuktikan juga bahwa a.0 = 0. Jika R tidak komutatif,bukti bahwa 0.a = 0 dapat dengan mudah menggunakan bentuk lain dari hukum distributif. Teorema a.9. Diberikan R ring, 0 elemen nol dari R dan a,b,c ∈R. i). a(-b)= (-a)b = -(ab) ii). (-a)(-b) = ab iii). a(b-c) = ab – ac dan (a-b)c = ac – bc Bukti : i). Diberikan a(b+(-b)) = a.0 = 0……(1) Dengan hukum distributif, diperoleh a(b+(-b)) = ab + a(-b) ……..(2) Dari (1) dan (2) diperoleh ab + a(-b) = 0. Karena ab mempunyai invers penjumlahan tunggal yaitu –(ab) maka a(-b) = -(ab). Dengan cara yang sama dapat dibuktikan (-a)b = -(ab). ii). Dengan menggunakan teorema 9.i) di atas maka (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) Karena ab adalah invers penjumlahan dari –(ab) maka –(-(ab)) = ab. iii). Perhatikan bahwa b-c adalah notasi untuk b+(-c). Dan menggunakan teorema 9.i) dan hukum distributif maka diperoleh a(b-c) = a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab + -(ac) = ab-ac Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk (a-b)c = ac – bc. g Suatu elemen e dalam ring R disebut elemen satuan (identitas terhadap operasi perkalian) dari ring jika ea = ae = a untuk setiap a∈R. Dalam keadaan tersebut elemen satuan adalah elemen identitas untuk perkalian. Bilangan 1 adalah elemen satuan untuk ring dari bilangan bulat. Ring dari himpunan bilangan bulat ganjil tidak mempunyai elemen satuan. Suatu ring R disebut komutatif jika ab = ba untuk setiap a,b ∈R. Jika ab ≠ ba untuk suatu a,b ∈ R, maka R tidak komutatif. Definisi a.3. Jika R dan S adalah ring, suatu ring dengan elemen-elemennya adalah elemen dari himpunan hasilkali RxS, dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan sebagai berikut : (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S maka RxS disebut jumlahan langsung dari ring R dan S. � Contoh : Diberikan R dan S adalah ring dan RxS hasilkali Cartesius dari R dan S, yaitu himpunan dari semua pasangan terurut (r,s) dengan r∈R, s∈S. Maka RxS menjadi suatu ring dengan operasi berikut (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) dan (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk setiap r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S. Dalam contoh di atas ring RxS tidak komutatif. Ring RxS akan komutatif bila hanya bila R dan S keduanya komutatif.

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan dengan dua operasi dan bentuk tersebut dinamakan ring. Defin…

Baca selengkapnya »

11 Jan 2009

Load more posts

Matematika2

Ideal

Daerah Integral

Subring ( Ring Bagian )

Sifat-sifat Bersahaja dari Ring

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Entri Populer

Arsip Blog

Komentar