Himpunan

Pengertian<br /><br />Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.<br /><br />Contoh:<br /><br />* Himpunan siswi kelas III SMU Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.<br />* Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7<br /><br />Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.<br /><br />1. Metode Roster<br />yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam<br />tanda kurung {...........}<br />contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}<br /><br />2. Metode Rule<br />yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya<br />contoh: N = {x½x adalah bilangan asli}<br /><br />3. Elemen (Anggota) notasi : Î<br />setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut<br />elemen/anggota himpunan itu.<br />contoh:<br />A ={a,b,c,d}<br />a Î A (a adalah anggota himpunan A)<br />e Ï A (e bukan anggota himpunan A)<br /><br /><span class="fullpost"><br />4. Himpunan kosong notasi : f atau {}<br />yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota<br />contoh :<br />A = { x | x² = -2; x riil}<br />A = f<br /><br /><br />5. Himpunan semesta notasi : S<br />yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan<br />contoh :<br />K = {1,2,3}<br />S = { x | x bilangan asli } atau<br />S = { x | x bilangan cacah } atau<br />S = { x | x bilangan positif } dsb.<br /><br />6. Himpunan bagian notasi : Ì atau É<br /><br />Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.<br /><br />Ditulis : A Ì Bf atau B É A<br /><br />contoh:<br />A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}<br />maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C<br /><br />ketentuan :<br /><br />* himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang<br />* himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari<br />* himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n<br /><br />HB = 2n<br /><br />contoh:<br />jika A = {a,b,c}<br />maka himpunan bagian dari A adalah :<br />{a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f<br /><br />seluruhnya ada 2³ = 8<br /><br />7. POWER SET 2s<br />himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S<br /><br />contoh:<br />S = {a,b,c}<br />2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }<br /><br /><br />8. Himpunan sama notasi : =<br /><br />Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.<br /><br />Ditulis A = B<br /><br />contoh:<br />K = {x | x²-3x+2=0}<br />L = {2,1}<br />maka K = L<br /><br /><br />9. Himpunan lepas notasi : //<br /><br />Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.<br /><br />Ditulis A // B<br /><br />contoh:<br />A = {a,b,c}<br />B = {k,l,m}<br />Maka A // B<br /><br />10. Gabungan (union) notasi : È<br /><br />Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B.<br /><br />A È B = { x | x Î A atau x Î B }<br /><br /><br />Gbr. Diagram Venn<br />daerah yang diarsir menyatakan A È B<br /><br />contoh:<br />A = {1,2,3}<br />B = {0,2,4}<br />Maka A È B = {0,1,2,3,4}<br /><br /><br />11. Irisan (intersection) notasi : Ç<br /><br />Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B.<br /><br />A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }<br /><br /><br />Gbr. Diagram Venn<br />daerah yang diarsir menyatakan A Ç B<br /><br />contoh:<br />A={1,2,3,4}<br />B={3,4,5}<br />maka A Ç B = {3,4}<br /><br /><br />12. Selisih notasi : -<br /><br />Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B.<br /><br />A - B = { x | x Î A dan x Ï B }<br /><br /><br />Gbr. Diagram Venn<br />daerah yang diarsir menyatakan A - B<br /><br />contoh:<br />A = {1,2,3,4,5}<br />B = {2,4,6,7,10}<br />Maka A - B = {1,3,5}<br /><br />_<br />13. Komplemen notasi: A', Ac, A<br /><br />Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A.<br /><br />A' = { x | x Î S dan x Ï A }<br /><br /><br />Gbr. Diagram Venn<br />daerah yang diarsir menyatakan A'<br /><br />contoh:<br />S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}<br />A = {1,2,3,4,5}<br />Maka A' = {6,7,8,9,10}<br /><br /><br />14. Komutatif<br /><br />A Ç B = B Ç A<br />A È B = B È A<br /><br /><br />15. Asosiatif<br /><br />A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C<br />A È (B È C) = (A È B) È C<br /><br /><br />16. Distributif<br /><br />A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)<br />A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)<br /><br /><br /><br />17. De Morgan ____ _ _<br />(A È B)= A Ç B<br />____ _ _<br />(A Ç B)= A È B<br /><br /><br /><br />Jika n menyatakan banyaknya anggota himpunan, maka berlaku hubungan :<br /><br />2 HIMPUNAN<br />____<br />n(s) = n (A È B) + n (A È B)<br /><br /><br />3 HIMPUNAN<br />________<br />n(S) = n (A È B È C) + (A È B È C)<br /><br />di mana<br /><br />n (A È B) = n (A) + n (B) - n (A Ç B)<br /><br />n (A È B È C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A Ç B) - n (A Ç C) - n (B Ç C) + n (A Ç B Ç C)<br /><br />18. Himpunan bilangan asli<br />Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.<br /><br />N = {1,2,3,4,5,6,......}<br /><br />19. Himpunan bilangan prima<br />Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.<br /><br />P = {2,3,5,7,11,13,....}<br /><br />20. Himpunan bilangan cacah<br />Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.<br /><br />C = {0,1,2,3,4,5,6,....}<br /><br />21. Himpunan bilangan bulat<br />Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.<br /><br />B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}<br /><br />22. Himpunan bilangan rasional<br />Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:<br />p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.<br /><br />contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain<br /><br />23. Himpunan bilangan irasional<br />Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.<br /><br />contoh: log 2, e, Ö7<br /><br />24. Himpunan bilangan riil<br />Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.<br /><br />contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3<br /><br />25. Himpunan bilangan imajiner<br />Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1<br /><br />contoh: i, 4i, 5i<br /><br />26. Himpunan bilangan kompleks<br />Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.<br /><br />contoh: 2-3i, 8+2<br /><br />source:<br /><a href="http://bebas.vlsm.org/v13/Sponsor/_Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0355%20Mat%201-1a.htm">http://bebas.vlsm.org</a><br /></span>

Himpunan

PengertianHimpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.Contoh:* Himpunan siswi kelas III SMU Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.* Himpunan b…

Baca selengkapnya »

Teka Teki Matematika (pendeta dan kanibal)

<div style="text-align: justify;"> Ini merupakan jenis soal metode diskrit yang diajarkan oleh dosen saya. soalnya gampang dimengerti, biasa seperti soal matematika yang lain soalnya memang gampang untuk dimengerti tapi sulit untuk di jawab atau di selesaikan. ini adalah salah satu contoh soalnyaada 3 orang pendeta dan 3 orang kanibal yang hendak menyebrang sungai. tetapi perahu yang digunakan hanya cukup untuk menampung 2 orang. bisa keduanya pendeta, atau keduanya kanibal atau mungkin pendeta dan kanibal, tetapi</div> <br /> <span class="fullpost"><span class="fullpost">ada beberapa persyaratan yang harus di penuhi untuk mngangkut semua pendeta dan kanibal yaitu tidak boleh jumlah pendeta lebih sedikit dari jumlah kanibal yang tersisa atau yang sudah berangkat, pertanyaannya bagaimana caranya agar ketiga pendeta tersebut selamat sampai ke seberang sungai? </span></span><br /> <br /> <span class="fullpost"><span class="fullpost"><b><a href="http://matematikakuadrat.blogspot.com/2008/12/game-game-yang-berhubungan-dengan.html">KLIK DISINI</a>  </b>untuk memainkan gamenya, selamat mencoba..</span></span>

Teka Teki Matematika (pendeta dan kanibal)

Ini merupakan jenis soal metode diskrit yang diajarkan oleh dosen saya. soalnya gampang dimengerti, biasa seperti soal matematika yang lain soalnya memang gampang untuk dimengerti tapi sulit untuk di…

Baca selengkapnya »

Memodelkan Matematika

<div style="text-align: justify;">Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, dewasa ini semakin dirasakan interaksinya dengan bidang-bidang ilmu lain seperti ekonomi, teknologi dan rekayasa. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada strukur ilmu dan penalaran yang digunakan.<br /><br />Sekarang ini ilmu matematika makin banyak digunakan dalam berbagai bidang kehidupan seperti di bidang industri, asuransi, keuangan, pertanian, dan banyak digunakan di banyak bidang sosial maupun teknik.<br /><br />Pada abad informasi sekarang dan masa mendatang peranan matematika akan semakin dirasakan terutama dalam menganalisis dan menginterpretasikan data dari pengamatan untuk diolah menjadi informasi yang berguna bagi pengambilan keputusan.<br /><br />Kemudian untuk memodelkan masalah-masalah nyata yang dihadapi masyarakat juga memerlukan pengetahuan matematika, terutama untuk memodelkan masalah tersebut secara matematis untuk kemudian ditentukan penyelesaiannya.<br /><br />Mengingat peranan matematika yang semakin besar dalam tahun-tahun mendatang, tentunya dibutuhkan banyak sarjana matematika yang terampil, andal, kompeten, dan berwawasan luas dalam disiplin ilmu yang lain yang saling menunjang.<br /></div><div style="text-align: justify;"><div style="text-align: justify;">Untuk menjawab kebutuhan akan tenaga kerja yang siap berkembang dalam bidang matematika, kurikulum Program Studi Matematika Unpar diarahkan ke Matematika Terapan dengan fokus penerapan pada bidang Keuangan, Asuransi dan Industri. Program studi menyediakan beberapan mata kuliah untuk menunjang dan mengembangkan kemampuan para lulusan yang dapat langsung diterapkan dalam bidang-bidang terkait.<br /></div>I. MATEMATIKA KEUANGAN<br /><br /> Salah satu penerapan matematika yang sedang berkembang pesat saat ini adalah di bidang keuangan dan pasar modal. Selama 20 tahun terakhir ini, produk-produk keuangan seperti : option, future, forward contract, swap; diperdagangkan secara luas pada pasar yang terorganisir. Matematika keuangan akan mempelajari mangenai model-model pergerakan aset; dasar teori, penentuan harga dan aplikasi produk-produk keuangan; manajemen portofolio dan resiko dan lain-lain; yang didukung oleh pemanfaatan teknologi komputerisasi dalam menyelesaikan permasalahan dan membangun pemahaman.<br />II. MATEMATIKA ASURANSI<br /><br /> Penerapan matematika di bidang asuransi antara lain untuk memperkirakan besar santunan yang disediakan oleh perusahaan asuransi, besarnya premi yang harus dibayar pemegang polis dan juga jenis investasi yang digunakan untuk mengembangkan aset yang dimiliki oleh perusahaan asuransi. Karena itu, tenaga ahli matematika yang memiliki kemampuan akademis dan pengembangan diri yang baik dibutuhkan oleh perusahaan asuransi. Program studi menyediakan mata kuliah yang menunjang, antara lain : Matematika Asuransi, Teori Investasi, Ekonometrika, Teori Pensiun dan lain sebagainya.<br />III. MATEMATIKA INDUSTRI<br /><br /> Matematika saat ini banyak digunakan di bidang industri untuk membantu dalam pengambilan keputusan yang lebih efektif dan membangun sistem yang lebih produktif, diantaranya untuk optimasi proses dan pengendalian kualitas. Program Studi Matematika menyediakan beberapa mata kuliah yang membahas penerapan matematika antara lain : Statistika, Kontrol Optimum, Pengendalian Mutu dan Perancangan Percobaan.</div>

Memodelkan Matematika

Matematika sebagai salah satu ilmu dasar, dewasa ini semakin dirasakan interaksinya dengan bidang-bidang ilmu lain seperti ekonomi, teknologi dan rekayasa. Peran matematika dalam interaksi ini terleta…

Baca selengkapnya »

Jurnal Matematika

<div style="text-align: justify;">dalam jurnal matematika ini banyak berisi tentang berbagai macam jurnal. jurnal jurnal ini disimpan e-jurnal kampus matematika fakultas mipa universitas udayana Bali. berbagai macam jurnal seperti:<br /><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">1.jurnal tentang sistem pelaporan, data warehouse, dependent data mart (ddm), integration layer(il), extract-transform-load (etl), performansi, dll</a><br /><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">2.</a><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">jurnal tentang prioritas tugas, kinematika, penghindaran halangan, dll</a><br /><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">3.</a><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">jurnal tentang skala katagorik, model log-linier, uji goodness-of-fit, model g^2, dll</a><br /><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">4.</a><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">jurnal tentang matrix flux, irrigation channel, hydraulic conductivity, dll</a><br /><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">5.</a><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">jurnal tentang regresi logistik, logistik berganda, odds ratio, dll</a><br /><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">6.</a><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">jurnal tentang stress intensity factors, cracks, inequalities, fracture mechanics, dll</a><br /><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">7.</a><a href="http://ejournal.unud.ac.id/?module=daftarvolume&idf=19&idj=19">jurnal tentang topologi, kompak, ruang hausdorff, titik limit, dll</a><br /><br /></div><span class="fullpost">semua jurnal tersebut diterbitkan oleh dosen matematika fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam universitas udayana Bali.<br /></span>

Jurnal Matematika

dalam jurnal matematika ini banyak berisi tentang berbagai macam jurnal. jurnal jurnal ini disimpan e-jurnal kampus matematika fakultas mipa universitas udayana Bali. berbagai macam jurnal seperti:1.j…

Baca selengkapnya »

Gerak Harmonik

<div style="text-align: justify;">Setiap gerak yang terjadi secara berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak periodik. Karena gerak ini terjadi secara teratur maka disebut juga sebagai gerak harmonik/harmonis. Apabila suatu partikel melakukan gerak periodik pada lintasan yang sama maka geraknya disebut gerak osilasi/getaran. Bentuk yang sederhana dari gerak periodik adalah benda yang berosilasi pada ujung pegas. Karenanya kita menyebutnya gerak harmonis sederhana. Banyak jenis gerak lain (osilasi dawai, roda keseimbangan arloji, atom dalam molekul, dan sebagainya) yang mirip dengan jenis gerakan ini, sehingga pada kesempatan ini kita akan membahasnya secara mendetail.<span class="fullpost"> <br /> <br /><span class="fullpost">Dalam kehidupan sehari-hari, gerak bolak balik benda yang bergetar terjadi tidak tepat sama karena pengaruh gaya gesekan. Ketika kita memainkan gitar, senar gitar tersebut akan berhenti bergetar apabila kita menghentikan petikan. Demikian juga bandul yang berhenti berayun jika tidak digerakan secara berulang. Hal ini disebabkan karena adanya gaya gesekan. Gaya gesekan menyebabkan benda-benda tersebut berhenti berosilasi. Jenis getaran seperti ini disebut getaran harmonik teredam. Walaupun kita tidak dapat menghindari gesekan, kita dapat meniadakan efek redaman dengan menambahkan energi ke dalam sistem yang berosilasi untuk mengisi kembali energi yang hilang akibat gesekan, salah satu contohnya adalah pegas dalam arloji yang sering kita pakai. Pada kesempatan ini kita hanya membahas gerak harmonik sederhana secara mendetail, karena dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak jenis gerak yang menyerupai sistem ini.</span> <br /></div><span class="fullpost"> <br /> <br /> <br /></span>

Gerak Harmonik

Setiap gerak yang terjadi secara berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak periodik. Karena gerak ini terjadi secara teratur maka disebut juga sebagai gerak harmonik/harmonis. Apabila suatu …

Baca selengkapnya »

Pigeon Hole (sarang merpati)

<div style="text-align: justify;">Jika (k + 1) atau lebih obyek ditempatkan ke dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat dua atau lebih obyek tersebut.<br /></div><div style="text-align: justify;"><br />Contoh 1: Jika terdapat 11 pemain dalam sebuah tim sepakbola yang menang dengan angka 12-0, maka haruslah terdapat paling sedikit satu pemain dalam tim yang membuat gol paling sedikit dua kali.<br /><br /><div style="text-align: justify;">Contoh 2: Jika anda menghadiri 6 kuliah dalam selang waktu Senin sampai Jumat, maka haruslah terdapat paling sedikit satu hari ketika anda menghadiri paling sedikit dua kelas.<br /></div></div><div style="text-align: justify;"><br />Jika N obyek ditempatkan ke dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat sedikitnya N/k obyek.<br /><span class="fullpost"><br />Bukti?<br /><br />Contoh 1: Di dalam kelas dengan 60 mahasiswa, terdapat paling sedikit 12 mahasiswa akan mendapat nilai yang sama (A, B, C, D, atau E).</span><br /><br />Contoh 2: Di dalam kelas dengan 61 mahasiswa, paling sedikit 13 mahasiswa akan memperoleh nilai yang sama.<br /><br />Misalkan ada laci yang berisi selusin kaus kaki coklat dan selusin kaus kaki hitam yang didistribusikan secara acak. Pada saat listrik padam, berapa kaus kaki yang harus anda ambil untuk memastikan bahwa di antaranya terdapat sepasang kaus yang sewarna?<br /><br /><br />Terdapat dua tipe kaus kaki, jadi jika anda memilih paling sedikit 3 kaus kaki, haruslah terdapat paling sedikit dua kaus kaki coklat atau paling sedikit dua kaus kaki hitam .<br /><br />Generalisasi Prinsip Sarang Merpati : 3/2 = 2.<br /></div>

Pigeon Hole (sarang merpati)

Jika (k + 1) atau lebih obyek ditempatkan ke dalam k kotak, maka terdapat paling sedikit satu kotak yang memuat dua atau lebih obyek tersebut.Contoh 1: Jika terdapat 11 pemain dalam sebuah tim sepakbo…

Baca selengkapnya »

OLIMPIADE MATEMATIKA DAN STATISTIKA 2008 JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS UDAYANA

nama olimpiade matematika di jurusan matematika telah rubah menjadi kompetisi matematika dan statistika<br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="http://i254.photobucket.com/albums/hh81/exel_jeksen/kms.jpg"><img alt="" border="0" src="http://i229.photobucket.com/albums/ee24/gabegh/kms.gif" style="margin: 0px auto 10px; display: block; text-align: center; cursor: pointer; width: 420px; height: 570px;" /></a><br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="http://i229.photobucket.com/albums/ee24/gabegh/kms.gif"><br /></a>

OLIMPIADE MATEMATIKA DAN STATISTIKA 2008 JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS UDAYANA

nama olimpiade matematika di jurusan matematika telah rubah menjadi kompetisi matematika dan statistika…

Baca selengkapnya »

KOMPETISI MATEMATIKA DAN STATISTIKA 2008 JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS UDAYANA

<a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="http://i254.photobucket.com/albums/hh81/exel_jeksen/kms.jpg"><img alt="" border="0" src="http://i229.photobucket.com/albums/ee24/gabegh/kms.gif" style="margin: 0px auto 10px; display: block; text-align: center; cursor: pointer; width: 420px; height: 570px;" /></a><br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="http://i229.photobucket.com/albums/ee24/gabegh/kms.gif"><br /></a>

KOMPETISI MATEMATIKA DAN STATISTIKA 2008 JURUSAN MATEMATIKA UNIVERSITAS UDAYANA

…

Baca selengkapnya »

Analisis Numerik I

<div style="text-align: justify;"><span style="font-weight: bold;">Error , Nilai Fungsi Dan Pendeferensialan Numerik</span><br /><br />2.1. Galat (Error)<br />Angka bena digunakan untuk menangani hampiran (aprogsimasi) yang berkaitan dengan manipulasi bilangan. Angka bena atau digit dikembangkan secara formal menandakan keadalan suatu nilai numerik. Angka bena( significant digits) angka yang dapat digunakan dengan pasti.<br /><br /><br />Galat (Error)<br />Galat numerik timbul karena penggunaan hampiran(aprogsimasi) untuk menya-takan operasi atau besaran matematis yang eksak.Hubungan nilai eksak(sejati / sebenar-nya) dengan nilai pendekatannya (aprogsimasi) dapat dirumuskan sebagai berikut.<br />Nilai sejati (true value) = aprogsimasi + galat (2.4)<br />atau<br />Et = Nilai sejati – Aprogsimasi (2.5) Dimana Et , menunjukkan nilai eksak dari galat dan t menyatakan galat sejati<br />( true error).<br />Kelemahan rumus (2.5) tingkat besaran nilai yang diperiksa tidak diperhatikan, oleh karenanya perlu menormalkan galat terhadap nilai sejatinya.<br />Menormalkan galat terhadap nilai sejati :<br /><br /> Galat relatif pecahan = galat/ nilai sejati, atau<br />Galat relatif dikalikan 100 persen yaitu :<br /> t = [( galat sejati)/ nilai sejati] x 100% (2.6)<br /> t menunjukkan prosentase galat relatif yang sejati<br />Dalam masalah rekayasa nilai eksak(true value) tidak diketahui oleh karenanya perlu adanya alternatif lain untuk menentukan galat yaitu perlunya penormalan galat dengan nilai pendekatannya.<br />Menormalkan galat terhadap nilai pendekatan (aprogsimasi)<br /><br /><br /> a= [( galat pendekatan)/ nilai pendekatan] x 100% (2.7)<br /><br />indek a menunjukkan bahwa galat dinormalkan terhadap nilai pendekatan.Untuk menentukan taksiran galat (error ) tanpa mengetahui nilai sejati, penentuan galat dilakukan secara berulang atau secara iterasi. Sedangkan prosentase galat relatif dirumuskan rumus sbb :<br /> nilai pendekatan sekarang - nilai pendekatan sebelumnya<br /> a =  x 100% ( 2.8)<br /><span class="fullpost"><br />nilai pendekatan sekarang<br /><br />nilai galat pada persamaan ( 2.4) sampai ( 2.8) dapat positif atau negatif, penghitu-ngan dihentikan apabila dipenuhi |  a | <  s dimana  s =( 0,5 x 102-n )% , n adalah angka bena (digit) yang diperhatikan. Contoh 1 : Jika diberikan uraian deret Maclaurin dari fungsi cos x, yaitu dengan memulai dari suku pertama cos x = 1, taksirlah nilai cos( ) dan lanjutkan sampai suku ke lima dari deret diatas. Dan tentukan error relatifnya. Jawab : Untuk , tentukan nilai cos( ) 1. iterasi pertama : Perhitungan diawali dengan menentukan nilai 2. iterasi kedua : Perhatikan dua dua suku pertama dari deret Maclaurin , maka maka Nps adalah nilai pendekatan sekarang(baru), Npb adalah nilai pendekatan sebelumnya 3. iterasi ketiga : Perhatikan tiga dua suku pertama dari deret Maclaurin diperoleh nilai 4. iterasi keempat : Perhatikan empat suku pertama yaitu dari deret Maclaurin diperoleh dan error relatifnya dan seterusnya Jika diperhatikan dari keempat iterasi (hitungan), tampak pada iterasi yang ke empat nilai error (galat) relatifnya semakin kecil. Hal ini diartikan bahwa pada iterasi keempat nilai semakin mendekati nilai sebenarnya (sejati). 3. Nilai fungsi dengan deret Taylor. Deret Taylor menyediakan sarana untuk menetukan nilai fungsi pada suatu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik yang lain. Sebelum memulai dengan penggunaan deret Taylor untuk menentukan nilai fungsi diingatkan kembali dengan Teorema Taylor yaitu Jika fungsi f dan n +1 turunannya kontinu pada selang yang memuat a dan x maka nilai fungsi pada x adalah sebagai berikut ( 3.1) Teorema Taylor akan disebut deret Taylor untuk n mendekati takberhingga yaitu : ( 3.2) Ekspansi maju deret Taylor untuk xi+1 pada titik dasar xi (3.3) 3.1. Nilai fungsi Pada bab berikut akan dibahas bagaimana menentukan nilai pendekatan suatu fungsi dengan menggunakan deret Taylor, yaitu dengan memperhatikan satu suku pertama yang disebut dengan pendekatan orde nol, memperhatikan dua suku pertama disebut dengan pendekatan orde pertama dan seterusnya. Untuk menentukan nilai fungsi f(xi+1) disekitar x = xi adalah sebagai berikut. Pendekatan orde-nol ( 3.4) Persamaan 3.2 menunjukkan bahwa nilai f pada titik baru sama dengan nilai f pada titik lama. Pendekatan orde-pertama (3.5) Suku tambahan orde-pertama terdiri dari kemiringan slope f(xi) dikalikan jarak antara xi dan xi+1 Pendekatan orde-kedua (3.6) Pendekatan orde-ketiga (3.7) dan seterusnya. Dengan menuliskan h =xI+1 –xI maka rumus deret Taylor 3.1 dapat di sederhanaan sebagai berikut (3.8) dengan suku sisa untuk pendekatan orde ke n adalah (3.9) 3.2. Pendeferensialan Numerik Penulisan deret Taylor untuk meramal kecepatan suatu fungsi waktu yaitu menetukan v(t). dinyatakan sbb: (3.10) (3.11) Persamaan 3.11 dapat dinyatakan sebagai berikut (3.12) 3.1.1. Selisih Terbagi Berhingga (finit divided difference) Turunan Pertama Dengan menggunakan rumus 3.12 dapat diturunkan selisih maju (forward diference) dan selisih mundur(backward diference) dari turunan pertama yaitu: ( 3.13) dapat ditulis (3.14) dimana fi disebut selisih maju pertama ( first forwart difference) h = x i +1 – xi ( interval ) 3.1.2 Selisih Mundur Turunan Pertama Deret Taylor diperluas mundur, dimaksudkan untuk menghitung suatu nilai sebelumnya berdasarkan suatu nilai sekarang adalah sebagai berikut : (3.15) dengan hanya memperhatikan dua suku pertama didapat rumus berikut (3.16) dimana fi disebut selisih mundur pertama h = x i – xi-1 ( interval ) 3.1.3. Selisih Terpusat(central) dari Turunan Pertama Dengan mengingat uraian deret Taylor maju yaitu : ( 3.17) dengan mengurangkan uraian deret Taylor 3.15 ke uraian deret taylor 3.17 didapat rumus selisih terpusat dari turunan pertama adalah sebagai berikut (3.16) 3.1.4. Selisih Berhingga Dari Turunan Yang Lebih Tinggi 1. Selisih terbagi berhingga maju kedua ( second forward finite divided difference) (3.17) 2. Selisih terbagi berhingga mundur kedua ( second backward finite divided difference) ( 3.11) Rumus derivatif maju(forward difference) dan derivatif mundur ( backward difference) dapat ditulis dalam bentuk table. Koefisien diperoleh dengan cara menguraikan rumus binomium newton ( a-b)n : 1. Tabel rumus-rumus derivatif maju( forward difference) dari turunan-turunan pertama hingga yang ke empat untuk tingkat kesalahan O(h). fi fi +1 fi +2 fi +3 fi +4 h f’(xI) = -1 1 h2 f”(xi)= 1 -2 1 h3 f”’(xi)= -1 3 -3 1 h4 f4(xi) = 1 -4 6 -4 1 Tabel 3.1 Forward difference dari O( h) 2. Derivatif mundur (backward difference) dari turunan-turunan pertama hingga yang ke empat untuk tingkat kesalahan O(h). fi -4 fi -3 fi -2 fi-1 fi h f’(xI) = -1 1 h2 f”(xi)= 1 2 1 h3 f”’(xi)= 1 3 -3 1 h4 f4(xi) = 1 -4 6 -4 1 Tabel 3.2. Backrward difference dari O( h) Dimana fi = f( x) , fi+1 = f( x + h), fi+2 = f( x + 2h), fi+3 = f( x + 3h) dan fi+4 = f( x + 4h), fi = f( x) , fi-1 = f( x - h), fi-2 = f( x - 2h), fi-3 = f( x - 3h) dan fi-4 = f( x - 4h), 2 fi = ( fi ) , 2 fi =  (fi) dan seterusnya Cara membaca tabel Untuk membaca tabel 3.1, pandang baris pertama tabel 3.1 forward difference dari O(h), dari tabel tersebut dapat dibaca bahwa 3. Derivatif maju( forward difference) dan derivatif mundur (backward difference) untuk tingkat kesalahan O(h)2. Yaitu fi fi +1 fi +2 fi +3 fi +4 fi +5 2h f’(xi) = -3 4 - 1 h2 f’’(xi)= 2 - 5 4 -1 2h3 f”’ (xi )= -5 18 - 24 14 -3 h4 f4(xi) = 3 - 14 26 - 24 11 -2 Tabel 3.3 Forward difference O( h)2 fi - 5 fi - 4 fi -3 fi -2 fi-1 fi 2h f’(xI) = 1 - 4 3 h2 f”(xi)= - 1 4 - 5 2 2h3 f”’(xi)= 3 - 14 24 - 18 5 h4 f4(xi) = -2 11 - 24 26 - 14 3 Tabel 3.4. Backrward difference dari O( h)2 3. Tabel Selisih Terpusat (central ) . fi -2 fi-1 fi fi+1 fi+2 2h f’(xi) = -1 0 1 h2 f”(xi)= 1 -2 1 2h3 f”’(xi)= -1 2 0 -2 1 h4 f4(xi) = 1 - 4 6 -4 1 Tabel 3.5 Selisih terpusat O( h)2 fi-3 fi-2 f i-1 fi fi+1 fi+2 fi+3 12h f’(xi) = 1 -8 0 8 -1 12h2 f”(xi)= -1 16 -30 16 -1 8 h3 f”’(xi)= 1 -8 13 0 -13 8 -1 6 h4 f4(xi) = -1 12 -39 56 -39 12 -1 Tabel 3.6. Selisih terpusat O( h)4 Contoh 3.1 : Suatu fungsi f(xi) pada xi , selisih terbagi maju dari turunan pertamanya diketahui dan selisih mundur terbagi dari turunan pertama dengan h = 0.1. Tentukan representasi Central(terpusat) dari dan dengan memperhatikan O(h2). Penyelesaian : Dengan menggunakan rumus selisih maju terbagi maka dapat dinyatakan dan dengan menggunakan rumus selisih mundur terbagi didapat Sedangkan dari rumus Central (terpusat) untuk turunan pertama dan kedua dengan memperhatikan O(h2) dapat diturunkan dan Contoh 3.2 : Buat algoritma pemrogramannya untuk menentukan turunan pertama dari y = x3 , untuk h kecil yang bervariasi mulai dari 1 sampai 10-10 gunakan forward diffe-rence pada x = 10 . Jawab : Secara Umum soal diatas dapat dibuat algoritmanya sebagai berikut Langkah 1. Masuk nilai x. (input). Langkah 2. Definisikan A : 1-10. Langkah 3. Hitung Langkah 4. Hitung S = f(x+H) – f(x) Langkah 5. Tentukan Derivatif= DER ( DER= S/H) Langkah 6. Cetak H, S, DER Langkah 7. Ulang perhitungan sampai batas toleransi dipenuhi. Langkah 8. Stop ( jika batas toleransi telah di penuhi) Dengan menggunakan bahasa pemrograman pascal silakan dibuat programnya.<br /><code> </code></span><li style="text-align: justify;"><br /><br />Source : <a href="http://elista.akprind.ac.id/upload/files/3681_2.Pertemuan_2-4.doc">http://elista.akprind.ac.id</a><br /></li><br /></div>

Analisis Numerik I

Error , Nilai Fungsi Dan Pendeferensialan Numerik2.1. Galat (Error)Angka bena digunakan untuk menangani hampiran (aprogsimasi) yang berkaitan dengan manipulasi bilangan. Angka bena a…

Baca selengkapnya »