Error , Nilai Fungsi Dan Pendeferensialan Numerik
2.1. Galat (Error)
Angka bena digunakan untuk menangani hampiran (aprogsimasi) yang berkaitan dengan manipulasi bilangan. Angka bena atau digit dikembangkan secara formal menandakan keadalan suatu nilai numerik. Angka bena( significant digits) angka yang dapat digunakan dengan pasti.
Galat (Error)
Galat numerik timbul karena penggunaan hampiran(aprogsimasi) untuk menya-takan operasi atau besaran matematis yang eksak.Hubungan nilai eksak(sejati / sebenar-nya) dengan nilai pendekatannya (aprogsimasi) dapat dirumuskan sebagai berikut.
Nilai sejati (true value) = aprogsimasi + galat (2.4)
atau
Et = Nilai sejati – Aprogsimasi (2.5) Dimana Et , menunjukkan nilai eksak dari galat dan t menyatakan galat sejati
( true error).
Kelemahan rumus (2.5) tingkat besaran nilai yang diperiksa tidak diperhatikan, oleh karenanya perlu menormalkan galat terhadap nilai sejatinya.
Menormalkan galat terhadap nilai sejati :
Galat relatif pecahan = galat/ nilai sejati, atau
Galat relatif dikalikan 100 persen yaitu :
t = [( galat sejati)/ nilai sejati] x 100% (2.6)
t menunjukkan prosentase galat relatif yang sejati
Dalam masalah rekayasa nilai eksak(true value) tidak diketahui oleh karenanya perlu adanya alternatif lain untuk menentukan galat yaitu perlunya penormalan galat dengan nilai pendekatannya.
Menormalkan galat terhadap nilai pendekatan (aprogsimasi)
a= [( galat pendekatan)/ nilai pendekatan] x 100% (2.7)
indek a menunjukkan bahwa galat dinormalkan terhadap nilai pendekatan.Untuk menentukan taksiran galat (error ) tanpa mengetahui nilai sejati, penentuan galat dilakukan secara berulang atau secara iterasi. Sedangkan prosentase galat relatif dirumuskan rumus sbb :
nilai pendekatan sekarang - nilai pendekatan sebelumnya
a = x 100% ( 2.8)
nilai pendekatan sekarang
nilai galat pada persamaan ( 2.4) sampai ( 2.8) dapat positif atau negatif, penghitu-ngan dihentikan apabila dipenuhi | a | < s dimana s =( 0,5 x 102-n )% , n adalah angka bena (digit) yang diperhatikan. Contoh 1 : Jika diberikan uraian deret Maclaurin dari fungsi cos x, yaitu dengan memulai dari suku pertama cos x = 1, taksirlah nilai cos( ) dan lanjutkan sampai suku ke lima dari deret diatas. Dan tentukan error relatifnya. Jawab : Untuk , tentukan nilai cos( ) 1. iterasi pertama : Perhitungan diawali dengan menentukan nilai 2. iterasi kedua : Perhatikan dua dua suku pertama dari deret Maclaurin , maka maka Nps adalah nilai pendekatan sekarang(baru), Npb adalah nilai pendekatan sebelumnya 3. iterasi ketiga : Perhatikan tiga dua suku pertama dari deret Maclaurin diperoleh nilai 4. iterasi keempat : Perhatikan empat suku pertama yaitu dari deret Maclaurin diperoleh dan error relatifnya dan seterusnya Jika diperhatikan dari keempat iterasi (hitungan), tampak pada iterasi yang ke empat nilai error (galat) relatifnya semakin kecil. Hal ini diartikan bahwa pada iterasi keempat nilai semakin mendekati nilai sebenarnya (sejati). 3. Nilai fungsi dengan deret Taylor. Deret Taylor menyediakan sarana untuk menetukan nilai fungsi pada suatu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik yang lain. Sebelum memulai dengan penggunaan deret Taylor untuk menentukan nilai fungsi diingatkan kembali dengan Teorema Taylor yaitu Jika fungsi f dan n +1 turunannya kontinu pada selang yang memuat a dan x maka nilai fungsi pada x adalah sebagai berikut ( 3.1) Teorema Taylor akan disebut deret Taylor untuk n mendekati takberhingga yaitu : ( 3.2) Ekspansi maju deret Taylor untuk xi+1 pada titik dasar xi (3.3) 3.1. Nilai fungsi Pada bab berikut akan dibahas bagaimana menentukan nilai pendekatan suatu fungsi dengan menggunakan deret Taylor, yaitu dengan memperhatikan satu suku pertama yang disebut dengan pendekatan orde nol, memperhatikan dua suku pertama disebut dengan pendekatan orde pertama dan seterusnya. Untuk menentukan nilai fungsi f(xi+1) disekitar x = xi adalah sebagai berikut. Pendekatan orde-nol ( 3.4) Persamaan 3.2 menunjukkan bahwa nilai f pada titik baru sama dengan nilai f pada titik lama. Pendekatan orde-pertama (3.5) Suku tambahan orde-pertama terdiri dari kemiringan slope f(xi) dikalikan jarak antara xi dan xi+1 Pendekatan orde-kedua (3.6) Pendekatan orde-ketiga (3.7) dan seterusnya. Dengan menuliskan h =xI+1 –xI maka rumus deret Taylor 3.1 dapat di sederhanaan sebagai berikut (3.8) dengan suku sisa untuk pendekatan orde ke n adalah (3.9) 3.2. Pendeferensialan Numerik Penulisan deret Taylor untuk meramal kecepatan suatu fungsi waktu yaitu menetukan v(t). dinyatakan sbb: (3.10) (3.11) Persamaan 3.11 dapat dinyatakan sebagai berikut (3.12) 3.1.1. Selisih Terbagi Berhingga (finit divided difference) Turunan Pertama Dengan menggunakan rumus 3.12 dapat diturunkan selisih maju (forward diference) dan selisih mundur(backward diference) dari turunan pertama yaitu: ( 3.13) dapat ditulis (3.14) dimana fi disebut selisih maju pertama ( first forwart difference) h = x i +1 – xi ( interval ) 3.1.2 Selisih Mundur Turunan Pertama Deret Taylor diperluas mundur, dimaksudkan untuk menghitung suatu nilai sebelumnya berdasarkan suatu nilai sekarang adalah sebagai berikut : (3.15) dengan hanya memperhatikan dua suku pertama didapat rumus berikut (3.16) dimana fi disebut selisih mundur pertama h = x i – xi-1 ( interval ) 3.1.3. Selisih Terpusat(central) dari Turunan Pertama Dengan mengingat uraian deret Taylor maju yaitu : ( 3.17) dengan mengurangkan uraian deret Taylor 3.15 ke uraian deret taylor 3.17 didapat rumus selisih terpusat dari turunan pertama adalah sebagai berikut (3.16) 3.1.4. Selisih Berhingga Dari Turunan Yang Lebih Tinggi 1. Selisih terbagi berhingga maju kedua ( second forward finite divided difference) (3.17) 2. Selisih terbagi berhingga mundur kedua ( second backward finite divided difference) ( 3.11) Rumus derivatif maju(forward difference) dan derivatif mundur ( backward difference) dapat ditulis dalam bentuk table. Koefisien diperoleh dengan cara menguraikan rumus binomium newton ( a-b)n : 1. Tabel rumus-rumus derivatif maju( forward difference) dari turunan-turunan pertama hingga yang ke empat untuk tingkat kesalahan O(h). fi fi +1 fi +2 fi +3 fi +4 h f’(xI) = -1 1 h2 f”(xi)= 1 -2 1 h3 f”’(xi)= -1 3 -3 1 h4 f4(xi) = 1 -4 6 -4 1 Tabel 3.1 Forward difference dari O( h) 2. Derivatif mundur (backward difference) dari turunan-turunan pertama hingga yang ke empat untuk tingkat kesalahan O(h). fi -4 fi -3 fi -2 fi-1 fi h f’(xI) = -1 1 h2 f”(xi)= 1 2 1 h3 f”’(xi)= 1 3 -3 1 h4 f4(xi) = 1 -4 6 -4 1 Tabel 3.2. Backrward difference dari O( h) Dimana fi = f( x) , fi+1 = f( x + h), fi+2 = f( x + 2h), fi+3 = f( x + 3h) dan fi+4 = f( x + 4h), fi = f( x) , fi-1 = f( x - h), fi-2 = f( x - 2h), fi-3 = f( x - 3h) dan fi-4 = f( x - 4h), 2 fi = ( fi ) , 2 fi = (fi) dan seterusnya Cara membaca tabel Untuk membaca tabel 3.1, pandang baris pertama tabel 3.1 forward difference dari O(h), dari tabel tersebut dapat dibaca bahwa 3. Derivatif maju( forward difference) dan derivatif mundur (backward difference) untuk tingkat kesalahan O(h)2. Yaitu fi fi +1 fi +2 fi +3 fi +4 fi +5 2h f’(xi) = -3 4 - 1 h2 f’’(xi)= 2 - 5 4 -1 2h3 f”’ (xi )= -5 18 - 24 14 -3 h4 f4(xi) = 3 - 14 26 - 24 11 -2 Tabel 3.3 Forward difference O( h)2 fi - 5 fi - 4 fi -3 fi -2 fi-1 fi 2h f’(xI) = 1 - 4 3 h2 f”(xi)= - 1 4 - 5 2 2h3 f”’(xi)= 3 - 14 24 - 18 5 h4 f4(xi) = -2 11 - 24 26 - 14 3 Tabel 3.4. Backrward difference dari O( h)2 3. Tabel Selisih Terpusat (central ) . fi -2 fi-1 fi fi+1 fi+2 2h f’(xi) = -1 0 1 h2 f”(xi)= 1 -2 1 2h3 f”’(xi)= -1 2 0 -2 1 h4 f4(xi) = 1 - 4 6 -4 1 Tabel 3.5 Selisih terpusat O( h)2 fi-3 fi-2 f i-1 fi fi+1 fi+2 fi+3 12h f’(xi) = 1 -8 0 8 -1 12h2 f”(xi)= -1 16 -30 16 -1 8 h3 f”’(xi)= 1 -8 13 0 -13 8 -1 6 h4 f4(xi) = -1 12 -39 56 -39 12 -1 Tabel 3.6. Selisih terpusat O( h)4 Contoh 3.1 : Suatu fungsi f(xi) pada xi , selisih terbagi maju dari turunan pertamanya diketahui dan selisih mundur terbagi dari turunan pertama dengan h = 0.1. Tentukan representasi Central(terpusat) dari dan dengan memperhatikan O(h2). Penyelesaian : Dengan menggunakan rumus selisih maju terbagi maka dapat dinyatakan dan dengan menggunakan rumus selisih mundur terbagi didapat Sedangkan dari rumus Central (terpusat) untuk turunan pertama dan kedua dengan memperhatikan O(h2) dapat diturunkan dan Contoh 3.2 : Buat algoritma pemrogramannya untuk menentukan turunan pertama dari y = x3 , untuk h kecil yang bervariasi mulai dari 1 sampai 10-10 gunakan forward diffe-rence pada x = 10 . Jawab : Secara Umum soal diatas dapat dibuat algoritmanya sebagai berikut Langkah 1. Masuk nilai x. (input). Langkah 2. Definisikan A : 1-10. Langkah 3. Hitung Langkah 4. Hitung S = f(x+H) – f(x) Langkah 5. Tentukan Derivatif= DER ( DER= S/H) Langkah 6. Cetak H, S, DER Langkah 7. Ulang perhitungan sampai batas toleransi dipenuhi. Langkah 8. Stop ( jika batas toleransi telah di penuhi) Dengan menggunakan bahasa pemrograman pascal silakan dibuat programnya.
Source : http://elista.akprind.ac.id
2.1. Galat (Error)
Angka bena digunakan untuk menangani hampiran (aprogsimasi) yang berkaitan dengan manipulasi bilangan. Angka bena atau digit dikembangkan secara formal menandakan keadalan suatu nilai numerik. Angka bena( significant digits) angka yang dapat digunakan dengan pasti.
Galat (Error)
Galat numerik timbul karena penggunaan hampiran(aprogsimasi) untuk menya-takan operasi atau besaran matematis yang eksak.Hubungan nilai eksak(sejati / sebenar-nya) dengan nilai pendekatannya (aprogsimasi) dapat dirumuskan sebagai berikut.
Nilai sejati (true value) = aprogsimasi + galat (2.4)
atau
Et = Nilai sejati – Aprogsimasi (2.5) Dimana Et , menunjukkan nilai eksak dari galat dan t menyatakan galat sejati
( true error).
Kelemahan rumus (2.5) tingkat besaran nilai yang diperiksa tidak diperhatikan, oleh karenanya perlu menormalkan galat terhadap nilai sejatinya.
Menormalkan galat terhadap nilai sejati :
Galat relatif pecahan = galat/ nilai sejati, atau
Galat relatif dikalikan 100 persen yaitu :
t = [( galat sejati)/ nilai sejati] x 100% (2.6)
t menunjukkan prosentase galat relatif yang sejati
Dalam masalah rekayasa nilai eksak(true value) tidak diketahui oleh karenanya perlu adanya alternatif lain untuk menentukan galat yaitu perlunya penormalan galat dengan nilai pendekatannya.
Menormalkan galat terhadap nilai pendekatan (aprogsimasi)
a= [( galat pendekatan)/ nilai pendekatan] x 100% (2.7)
indek a menunjukkan bahwa galat dinormalkan terhadap nilai pendekatan.Untuk menentukan taksiran galat (error ) tanpa mengetahui nilai sejati, penentuan galat dilakukan secara berulang atau secara iterasi. Sedangkan prosentase galat relatif dirumuskan rumus sbb :
nilai pendekatan sekarang - nilai pendekatan sebelumnya
a = x 100% ( 2.8)
nilai pendekatan sekarang
nilai galat pada persamaan ( 2.4) sampai ( 2.8) dapat positif atau negatif, penghitu-ngan dihentikan apabila dipenuhi | a | < s dimana s =( 0,5 x 102-n )% , n adalah angka bena (digit) yang diperhatikan. Contoh 1 : Jika diberikan uraian deret Maclaurin dari fungsi cos x, yaitu dengan memulai dari suku pertama cos x = 1, taksirlah nilai cos( ) dan lanjutkan sampai suku ke lima dari deret diatas. Dan tentukan error relatifnya. Jawab : Untuk , tentukan nilai cos( ) 1. iterasi pertama : Perhitungan diawali dengan menentukan nilai 2. iterasi kedua : Perhatikan dua dua suku pertama dari deret Maclaurin , maka maka Nps adalah nilai pendekatan sekarang(baru), Npb adalah nilai pendekatan sebelumnya 3. iterasi ketiga : Perhatikan tiga dua suku pertama dari deret Maclaurin diperoleh nilai 4. iterasi keempat : Perhatikan empat suku pertama yaitu dari deret Maclaurin diperoleh dan error relatifnya dan seterusnya Jika diperhatikan dari keempat iterasi (hitungan), tampak pada iterasi yang ke empat nilai error (galat) relatifnya semakin kecil. Hal ini diartikan bahwa pada iterasi keempat nilai semakin mendekati nilai sebenarnya (sejati). 3. Nilai fungsi dengan deret Taylor. Deret Taylor menyediakan sarana untuk menetukan nilai fungsi pada suatu titik dalam bentuk nilai fungsi dan turunannya pada titik yang lain. Sebelum memulai dengan penggunaan deret Taylor untuk menentukan nilai fungsi diingatkan kembali dengan Teorema Taylor yaitu Jika fungsi f dan n +1 turunannya kontinu pada selang yang memuat a dan x maka nilai fungsi pada x adalah sebagai berikut ( 3.1) Teorema Taylor akan disebut deret Taylor untuk n mendekati takberhingga yaitu : ( 3.2) Ekspansi maju deret Taylor untuk xi+1 pada titik dasar xi (3.3) 3.1. Nilai fungsi Pada bab berikut akan dibahas bagaimana menentukan nilai pendekatan suatu fungsi dengan menggunakan deret Taylor, yaitu dengan memperhatikan satu suku pertama yang disebut dengan pendekatan orde nol, memperhatikan dua suku pertama disebut dengan pendekatan orde pertama dan seterusnya. Untuk menentukan nilai fungsi f(xi+1) disekitar x = xi adalah sebagai berikut. Pendekatan orde-nol ( 3.4) Persamaan 3.2 menunjukkan bahwa nilai f pada titik baru sama dengan nilai f pada titik lama. Pendekatan orde-pertama (3.5) Suku tambahan orde-pertama terdiri dari kemiringan slope f(xi) dikalikan jarak antara xi dan xi+1 Pendekatan orde-kedua (3.6) Pendekatan orde-ketiga (3.7) dan seterusnya. Dengan menuliskan h =xI+1 –xI maka rumus deret Taylor 3.1 dapat di sederhanaan sebagai berikut (3.8) dengan suku sisa untuk pendekatan orde ke n adalah (3.9) 3.2. Pendeferensialan Numerik Penulisan deret Taylor untuk meramal kecepatan suatu fungsi waktu yaitu menetukan v(t). dinyatakan sbb: (3.10) (3.11) Persamaan 3.11 dapat dinyatakan sebagai berikut (3.12) 3.1.1. Selisih Terbagi Berhingga (finit divided difference) Turunan Pertama Dengan menggunakan rumus 3.12 dapat diturunkan selisih maju (forward diference) dan selisih mundur(backward diference) dari turunan pertama yaitu: ( 3.13) dapat ditulis (3.14) dimana fi disebut selisih maju pertama ( first forwart difference) h = x i +1 – xi ( interval ) 3.1.2 Selisih Mundur Turunan Pertama Deret Taylor diperluas mundur, dimaksudkan untuk menghitung suatu nilai sebelumnya berdasarkan suatu nilai sekarang adalah sebagai berikut : (3.15) dengan hanya memperhatikan dua suku pertama didapat rumus berikut (3.16) dimana fi disebut selisih mundur pertama h = x i – xi-1 ( interval ) 3.1.3. Selisih Terpusat(central) dari Turunan Pertama Dengan mengingat uraian deret Taylor maju yaitu : ( 3.17) dengan mengurangkan uraian deret Taylor 3.15 ke uraian deret taylor 3.17 didapat rumus selisih terpusat dari turunan pertama adalah sebagai berikut (3.16) 3.1.4. Selisih Berhingga Dari Turunan Yang Lebih Tinggi 1. Selisih terbagi berhingga maju kedua ( second forward finite divided difference) (3.17) 2. Selisih terbagi berhingga mundur kedua ( second backward finite divided difference) ( 3.11) Rumus derivatif maju(forward difference) dan derivatif mundur ( backward difference) dapat ditulis dalam bentuk table. Koefisien diperoleh dengan cara menguraikan rumus binomium newton ( a-b)n : 1. Tabel rumus-rumus derivatif maju( forward difference) dari turunan-turunan pertama hingga yang ke empat untuk tingkat kesalahan O(h). fi fi +1 fi +2 fi +3 fi +4 h f’(xI) = -1 1 h2 f”(xi)= 1 -2 1 h3 f”’(xi)= -1 3 -3 1 h4 f4(xi) = 1 -4 6 -4 1 Tabel 3.1 Forward difference dari O( h) 2. Derivatif mundur (backward difference) dari turunan-turunan pertama hingga yang ke empat untuk tingkat kesalahan O(h). fi -4 fi -3 fi -2 fi-1 fi h f’(xI) = -1 1 h2 f”(xi)= 1 2 1 h3 f”’(xi)= 1 3 -3 1 h4 f4(xi) = 1 -4 6 -4 1 Tabel 3.2. Backrward difference dari O( h) Dimana fi = f( x) , fi+1 = f( x + h), fi+2 = f( x + 2h), fi+3 = f( x + 3h) dan fi+4 = f( x + 4h), fi = f( x) , fi-1 = f( x - h), fi-2 = f( x - 2h), fi-3 = f( x - 3h) dan fi-4 = f( x - 4h), 2 fi = ( fi ) , 2 fi = (fi) dan seterusnya Cara membaca tabel Untuk membaca tabel 3.1, pandang baris pertama tabel 3.1 forward difference dari O(h), dari tabel tersebut dapat dibaca bahwa 3. Derivatif maju( forward difference) dan derivatif mundur (backward difference) untuk tingkat kesalahan O(h)2. Yaitu fi fi +1 fi +2 fi +3 fi +4 fi +5 2h f’(xi) = -3 4 - 1 h2 f’’(xi)= 2 - 5 4 -1 2h3 f”’ (xi )= -5 18 - 24 14 -3 h4 f4(xi) = 3 - 14 26 - 24 11 -2 Tabel 3.3 Forward difference O( h)2 fi - 5 fi - 4 fi -3 fi -2 fi-1 fi 2h f’(xI) = 1 - 4 3 h2 f”(xi)= - 1 4 - 5 2 2h3 f”’(xi)= 3 - 14 24 - 18 5 h4 f4(xi) = -2 11 - 24 26 - 14 3 Tabel 3.4. Backrward difference dari O( h)2 3. Tabel Selisih Terpusat (central ) . fi -2 fi-1 fi fi+1 fi+2 2h f’(xi) = -1 0 1 h2 f”(xi)= 1 -2 1 2h3 f”’(xi)= -1 2 0 -2 1 h4 f4(xi) = 1 - 4 6 -4 1 Tabel 3.5 Selisih terpusat O( h)2 fi-3 fi-2 f i-1 fi fi+1 fi+2 fi+3 12h f’(xi) = 1 -8 0 8 -1 12h2 f”(xi)= -1 16 -30 16 -1 8 h3 f”’(xi)= 1 -8 13 0 -13 8 -1 6 h4 f4(xi) = -1 12 -39 56 -39 12 -1 Tabel 3.6. Selisih terpusat O( h)4 Contoh 3.1 : Suatu fungsi f(xi) pada xi , selisih terbagi maju dari turunan pertamanya diketahui dan selisih mundur terbagi dari turunan pertama dengan h = 0.1. Tentukan representasi Central(terpusat) dari dan dengan memperhatikan O(h2). Penyelesaian : Dengan menggunakan rumus selisih maju terbagi maka dapat dinyatakan dan dengan menggunakan rumus selisih mundur terbagi didapat Sedangkan dari rumus Central (terpusat) untuk turunan pertama dan kedua dengan memperhatikan O(h2) dapat diturunkan dan Contoh 3.2 : Buat algoritma pemrogramannya untuk menentukan turunan pertama dari y = x3 , untuk h kecil yang bervariasi mulai dari 1 sampai 10-10 gunakan forward diffe-rence pada x = 10 . Jawab : Secara Umum soal diatas dapat dibuat algoritmanya sebagai berikut Langkah 1. Masuk nilai x. (input). Langkah 2. Definisikan A : 1-10. Langkah 3. Hitung Langkah 4. Hitung S = f(x+H) – f(x) Langkah 5. Tentukan Derivatif= DER ( DER= S/H) Langkah 6. Cetak H, S, DER Langkah 7. Ulang perhitungan sampai batas toleransi dipenuhi. Langkah 8. Stop ( jika batas toleransi telah di penuhi) Dengan menggunakan bahasa pemrograman pascal silakan dibuat programnya.
Source : http://elista.akprind.ac.id
Posting Komentar
[+] Komentar membangun lebih disukai
[+] Admin akan menghapus komentar yang melecehkan, kasar, dan bertendensi SARA.
[+] Selain Admin, link aktif dalam komentar akan dihapus