Struktur Aljabar II (Ring)

Ring theory ( teori gelanggang)

Defenisi :
Sebuah himpunan takkosong R dikatakan ring (asosiatif) jika dalam R terdefenisi dua operasi yang disimbolkan + dan ‘.’, sehingga untuk setiap a,b di R memenuhi :
1. a+b di R
2. a+b = b+a.
3.(a+b)+c = a+(b+c)
4.ada unsur 0 dalam R sehingga a+0=a (untuk setiap a di R)
5.ada –a dalam R sehingga a+(-a)=0.
6.a.b ada di R.
7.a.(b.c)=(a.b).c
8.a.(b+c)=a.b + a.c dan (b+c).a = b.a + c.a (dua hukum distribusi)

Pada aksioma 1 samapi 5, mengatakan bahwa R membentuk grup komutatif terhadap operasi penjumlahan. Aksioma 6 dan 7 mengatakan bahwa R membentuk semi grup terhadap operasi perkalian. Aksioma 8 mengharuskan pada R berlaku hukum distribusi perkalian terhadap operasi perkalian. Operasi-operasi yang berlaku diatas masih bersifat umum artinya bahwa bisa saja ada sebuah ring yang membentuk grup komutatif terhadap operasi perkalian, namun tetap disimbolkan + dan semigrup terhadap opersi penjumlahan, namun masih disimbolkan dengan ‘.’, dan aksioma 8. Namun seringkali aksioma 8 tidak dapat dipenuhi, sebab tidak ada distribusi penjumlahan terhadap operasi perkalian. Keterurutan aksioma-aksioma diatas memberikan manfaat tersendiri. Aksioma 2 adalah sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan bermanfaat pada saat aksioma 4 dan 5. Kita akan mengatakan bahwa R merupakan gelanggang dengan unsur satuan jika ada 1 di R sehingga untuk setiap a di R, berlaku a.1=1.a = a. Jika untuk setiap a,b di R berlaku a.b=b.a, maka R dikatakan ring komutatif. Jika untuk setiap unsur taknol dari R memiliki invers yang juga di R terhadap operasi perkalian, serta memiliki unsur satuan dan komutatif maka R kita namakan lapangan.
Contoh 3.3.1. R himpunan bilangan bulat, positif, negatif dan nol. Dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan bulat, maka R membentuk ring komutatif dengan unsur satuan secara alami.

Kita tidak dapat membuktikan secara pasti bahwa himpunan bilangan bulat adalah ring dengan unsur satuan, tetapi dengan mempelajari keadaanya ini dapat dipenuhi.
Contoh 3.1.2. R adalah himpunan bilangan bulat genap dibawah operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat. R membentuk ring komutatif tapi tidak punya unsur satuan.
Source :

http://www.strukturaljabar.co.cc