Matematika2

Subring ( Ring Bagian )

Definisi c.1. Suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R disebut subring dari R jika S adalah ring terhadap kedua operasi pada R. � Contoh : Ring dari bilangan bulat genap adalah subring dari ring himpunan bilangan bulat. Dan ring dari bilangan bulat adalah subring dari ring bilangan rasional. Syarat perlu cukup agar S merupakan subring diberikan dalam teorema berikut. Teorema c.1. Diberikan R ring dan S suatu himpunan bagian tak kosong dari R. Maka S merupakan subring dari R bila dan hanya bila syarat berikut dipenuhi : Untuk a,b∈R , ab ∈S dan a-b ∈S. Bukti : Bila S merupakan subring dari ring R, berarti S adalah ring terhadap kedua operasi dari R. Maka dipenuhi : 1). Untuk setiap a,b ∈S, ab∈S. 2). Untuk setiap a,b ∈S, a+b ∈S 3). Untuk setiap a ∈S, -a ∈S g Contoh : Diberikan F = M (R) melambangkan himpunan semua fungsi f : R → R. Diberikan (f+g) (x) = f(x) + g(x) ; untuk setiap x∈R. (fg) (x) = f(x) g(x) ; untuk setiap x ∈R. Dapat dibuktikan bahwa M(R) dengan kedua operasi tersebut merupakan ring. Misalkan terdapat S yang merupakan himpunan dari semua f∈F sedemikian sehingga f(1) = 0. Maka S adalah subring dari F. Karena memenuhi definisi subring. Himpunan S tak kosong karena 0F∈S. Karena 0F(x) = 0 untuk setiap x∈R. Demikian juga 0F(1) = 0 maka 0F∈S. Dan jika f dan g elemen dalam S maka (f+g)(1) = f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0 (fg) (1) = f(1)g(1) = 0.0 = 0 Berarti f+g dan fg dalam S. Akhirnya, jika f(1) = 0 maka (-f)(1) = -f(1) = -0 = 0. Hal tersebut berarti, negatif dari setiap elemen S juga berada dalam S.

Subring ( Ring Bagian )

Definisi c.1 . Suatu himpunan bagian tak kosong S dari ring R disebut subring dari R jika S adalah ring terhadap kedua operasi pada R. � ...

Baca selengkapnya »

Sifat-sifat Bersahaja dari Ring

Definisi b.1. Misalkan R mempunyai elemen satuan e maka dengan a0 dimaksud e. Jika m bilangan bulat positif maka am dimaksud a.a…a dengan m faktor. Jika a∈R mempunyai invers maka dengan a-m dimaksud (a-1)m. � Teorema b.1. Diberikan suatu ring R dengan elemen satuan e dan untuk setiap a∈R mempunyai invers. Maka berlaku i). a-m = (am)-1 untuk setiap bilangan bulat m. ii). am . a n = a m+n untuk setiap bilangan bulat m dan n. iii). (am)n = a mn untuk setiap bilangan bulat m dan n. Bukti : Akan dibuktikan untuk yang kedua. Untuk m>0, n<0> Apabila n<0 n="-p"> n m-p Sehinggaam.a =a .a= a m. (a-1)p -1 -1 -1 = a.a……a.a .a …. a m-p m+n =a=a g Definisi b.2. Misalkan R suatu ring , a∈R dan m bilangan bulat positif. Maka ma didefinisikan sebagai a+a+…+a dengan m suku. � Perhatikan bahwa ma tidak didefinisikan sebagai pergandaan dari m dengan a, sebab m adalah bilangan bulat positif (belum tentu m∈R) dan a∈R, yang belum tentu suatu bilangan. Pergandaan bilangan bulat positif m dengan a∈R tidak didefinisikan. m di atas adalah lambang untuk menjumlahkan a dengan dirinya sendiri sebanyak m suku. Definisi b.3. Dengan (-m)a dimaksud invers dari ma terhadap jumlahan yaitu –(ma). � Perhatikan bahwa (-m)a = -(ma) = -( a+a+...+a) = (-a)+(-a) +...+(-a) = m(-a). Sehingga didapat (-m)a = -(ma) = m(-a). Definisi b.4. Dengan 0a, di mana 0 bilangan bulat, adalah elemen netral (elemen nol) dari ring R. Jadi 0a = 0. � Perhatikan bahwa dalam rumus 0a = 0, 0 di ruas kiri adalah bilangan bulat sedangkan 0 pada ruas kanan adalah elemen netral dari R terhadap penjumlahan. Teorema b.2. Untuk setiap a,b ∈R dan m,n bilangan bulat berlaku i). ma + na = (m+n)a ii). m(na) = (mn)a iii). m(a+b) = ma + mb iv). m(ab) = (ma)b = a(mb) v). (ma)(nb) = (mn)(ab) Bukti : Akan dibuktikan untuk m>0, n>0 . Karenama=a+a+…. +asebanyakmsukudan na=a+a+…. +a sebanyaknsuku,maka ma+na=a+a+…. +a sebanyakm+nsuku. Dan dapat ditulis sebagai ma + na = (m+n)a. Akan dibuktikan untuk m>0, n<0>. Apabila n<0 n =" -p">. m(na) = m((-p)a) = m(-(pa)) = -(pa) + (-(pa)) + ...+(-(pa)) = -(a+a+...) + .... + -(a+a+....+a) = (mp)(-a) = (-(mp))a = (m(-p))a = (mn)a Bukti untuk bagian iii) dengan m>0, n>0 sebagai berikut. m(a+b) = (a+b) + (a+b) + ….. + (a+b), sebanyak m suku. = ( a + a + … + a ) + ( b + b + …. + b ) = ma+mb Adapun bukti untuk (v) adalah (ma)(nb) = (a+a+....+a)(b+b+.....+b) = (a+a+....+a)b + (a+a+....+a)b + ......+ (a+a+...+a)b = (ab + ab + ...+ ab) + ....+ (ab + ab+...+ab) Dalam setiap kelompok terdapat m suku, sedangkan ada n kelompok maka hasilnya adalah (mn)(ab). g (ma)(nb) = (mn)(ab) bukan hukum komutatif dari pergandaan mn dengan ab. Sebab ma tidak berarti pergandaan dari m dengan a.

Sifat-sifat Bersahaja dari Ring

Definisi b.1 . Misalkan R mempunyai elemen satuan e maka dengan a 0 dimaksud e . Jika m bilangan bulat positif maka a m dimaksud a.a…a de...

Baca selengkapnya »

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan dengan dua operasi dan bentuk tersebut dinamakan ring. Definisi a.1. Suatu ring adalah suatu himpunan R tak kosong beserta dua operasi pada R, yang disebut penjumlahan (a+b) dan pergandaan (a.b), sedemikian sehingga setiap aksioma berikut dipenuhi : R dengan penjumlahan merupakan grup Abelian memenuhi <ol style="list-style-type: decimal;"><li> ∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a+b = c. </li><li> ∀ a,b,c ∈ R, (a+b)+c = a +(b+c) </li><li> ∀ a ∈ R, ∃ 0 ∈ R , a+0 = 0+a = a </li><li> ∀ a∈ R, ∃ -a ∈ R , a+(-a) = (-a)+a = 0 </li></ol> <ol style="list-style-type: decimal;"><li style="margin-left: 0px; text-indent: 22px; line-height: 27px;"> ∀ a,b ∈ R, a+b = b+a R dengan pergandaan memenuhi : </li><li style="margin-left: 45px; text-indent: -21px; line-height: 26px;"> 1. ∀ a,b ∈ R, ∃ c ∈ R sedemikian sehingga a.b = c. </li></ol> ∀ a,b,c ∈ R, (a.b).c = a.(b.c) R dengan komposisi kedua operasi memenuhi : ∀ a,b,c ∈ R, a.(b+c) = a.b+a.c dan (a+b).c = a.c+b.c Karena suatu ring merupakan grup terhadap, sifat-sifat dasar dari ring yang berkaitan dengan penjumlahan termuat dalam sifat-sifat dasar grup terhadap penjumlahan. Sebagai contoh, hukum kanselasi dan hukum (a-1)-1 = a karena –(-a)=a. Teorema berikut memberikan ringkasan dari sifat tersebut. Sesuai kesepakatan dalam grup : jika n adalah bilangan bulat positif, maka na = a+a+…+a (n suku) dan (-n)a = -(na) Teorema a.1. Diberikan R ring. Elemen nol dari R adalah tunggal. Bukti : Misal x,y ∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R berlaku a+x = a dan a+y=a. Jika diambil x∈R dengan y elemen nol maka x+y=x. Jika diambil y∈R dengan x elemen nol maka y+x=y. Karena x+y = y+x maka x=y. g Teorema a.2. Setiap elemen dari R mempunyai negatif tunggal. (Invers penjumlahan dari setiap elemen dalam ring R adalah tunggal). Bukti : Misalkan a+x = 0 dan a+y = 0 Maka a+x = a+y dengan kanselasi diperoleh x=y. g Teorema a.3. Hukum Kanselasi penjumlahan Jika a,b,c ∈ R maka berlaku i). Jika a+c = b+c maka a=b ii). Jika c+a = c+b maka a=b Bukti : Akan dibuktikan untuk (i). Diberikan a+c = b+c Menurut definisi grup, untuk c∈R, ada t∈R sedemikian sehingga c+t = 0. Maka untuk a+c = b+c diperoleh (a+c)+t = (b+c)+t Tetapi (a+c)+t = a+(c+t) = a + 0 = a. Akibatnya, (b+c)+t = b+(c+t) = b+0 = b Maka a=b. g Teorema a.4. Jika a dan b adalah elemen dari suatu ring R, persamaan a+x=b mempunyai penyelesaian tunggal x = b-a dalam R. Bukti : a+x = a +(b-a)= a+((-a)+b) = (a+(-a))+b = 0+b = b Ketunggalan dari penyelesaian tersebut ditunjukkan dengan hukum kanselasi berikut. Jika a+x = b dan a+y= b maka a+x = a+y. Mengakibatkan x=y. g Karena setiap elemen a∈R mempunyai tepat satu invers penjumlahan, maka dapat disingkat b+(-a) dengan b-a. Karena a+(-a) = 0, dapat dilihat bahwa a adalah invers penjumlahan dari –a, yaitu –(-a) = a. Maka dapat diuraikan teorema berikut : Teorema a.5. Untuk a,b,c elemen-elemen ring R berlaku i). –(-a) = a ii). –(a+b) = -a–b iii). –(a-b) = -a+b iv). (a-b)-c = a-(b+c) Teorema a.6. Suatu ring mempunyai tepat satu elemen satuan. Bukti : Misal e,e’∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R, berlaku ea = ae = a ……..(1) dan juga e’a = ae’ = a ………(2) Dengan cara yang sama, dari persamaan (1) berlaku juga untuk a=e’ sehingga dipunyai ee’ = e’e = e’ ……..(3) Dan untuk a=e dari persamaan (2) diperoleh e’e = ee’ = e ………(4) Dari persamaan (3) dan (4) menyebabkan e=e’, sehingga hanya ada satu elemen satuan. g Definisi a.2. Diberikan a elemen dari ring R dengan elemen satuan e. Jika ada elemen s dari R sedemikian sehingga as = sa = e, maka s disebut invers perkalian dari a. � Terdapat perbedaan antara invers penjumlahan dan invers perkalian pada ring. Dalam ring dari himpunan bilangan real, setiap elemen taknol mempunyai invers perkalian. Dalam ring bilangan bulat, ada tepat dua elemen yang mempunyai invers perkalian, yaitu 1 dan –1. Teorema a.7. Jika a elemen ring R dengan elemen satuan e mempunyai invers perkalian, maka invers perkalian tersebut tunggal. Bukti : Misalkan bahwa s dan t adalah invers perkalian dari elemen a. Maka,dari definisi sa = e dan hukum asosiatif dari perkalian, maka s(at) = (sa)t = et = t. Karena at = e, maka s(at) = se = s. Jadi s = t. g Bila a mempunyai invers perkalian, maka menandakan invers perkaliannya dengan a-1 . Teorema a.8. Untuk setiap elemen a dari suatu ring R, dipunyai a.0 = 0.a = 0 Bukti : Karena a+0 = a, maka a(a+0) = a.a Dari hukum distributif didapat a(a+0) = a.a + a.0 Sehingga a.a + a.0 = a.a. Dengan kanselasi maka a.0 = 0. g Bila R adalah ring komutatif, maka dapat dibuktikan juga bahwa a.0 = 0. Jika R tidak komutatif,bukti bahwa 0.a = 0 dapat dengan mudah menggunakan bentuk lain dari hukum distributif. Teorema a.9. Diberikan R ring, 0 elemen nol dari R dan a,b,c ∈R. i). a(-b)= (-a)b = -(ab) ii). (-a)(-b) = ab iii). a(b-c) = ab – ac dan (a-b)c = ac – bc Bukti : i). Diberikan a(b+(-b)) = a.0 = 0……(1) Dengan hukum distributif, diperoleh a(b+(-b)) = ab + a(-b) ……..(2) Dari (1) dan (2) diperoleh ab + a(-b) = 0. Karena ab mempunyai invers penjumlahan tunggal yaitu –(ab) maka a(-b) = -(ab). Dengan cara yang sama dapat dibuktikan (-a)b = -(ab). ii). Dengan menggunakan teorema 9.i) di atas maka (-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) Karena ab adalah invers penjumlahan dari –(ab) maka –(-(ab)) = ab. iii). Perhatikan bahwa b-c adalah notasi untuk b+(-c). Dan menggunakan teorema 9.i) dan hukum distributif maka diperoleh a(b-c) = a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab + -(ac) = ab-ac Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan untuk (a-b)c = ac – bc. g Suatu elemen e dalam ring R disebut elemen satuan (identitas terhadap operasi perkalian) dari ring jika ea = ae = a untuk setiap a∈R. Dalam keadaan tersebut elemen satuan adalah elemen identitas untuk perkalian. Bilangan 1 adalah elemen satuan untuk ring dari bilangan bulat. Ring dari himpunan bilangan bulat ganjil tidak mempunyai elemen satuan. Suatu ring R disebut komutatif jika ab = ba untuk setiap a,b ∈R. Jika ab ≠ ba untuk suatu a,b ∈ R, maka R tidak komutatif. Definisi a.3. Jika R dan S adalah ring, suatu ring dengan elemen-elemennya adalah elemen dari himpunan hasilkali RxS, dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan sebagai berikut : (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S maka RxS disebut jumlahan langsung dari ring R dan S. � Contoh : Diberikan R dan S adalah ring dan RxS hasilkali Cartesius dari R dan S, yaitu himpunan dari semua pasangan terurut (r,s) dengan r∈R, s∈S. Maka RxS menjadi suatu ring dengan operasi berikut (r1, s1) + (r2, s2) = (r1+ r2, s1+s2) dan (r1, s1).(r2, s2)= (r1r2, s1s2) untuk setiap r1,r2 ∈R , s1,s2 ∈S. Dalam contoh di atas ring RxS tidak komutatif. Ring RxS akan komutatif bila hanya bila R dan S keduanya komutatif.

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Dalam teori grup telah dipelajari tentang suatu himpunan dengan satu operasi.Sebagai kelanjutan dari grup akan dipelajari suatu himpunan de...

Baca selengkapnya »

Teorema mengenai Limiting Probability dan Irreducible

Teorema mengenai Limiting ProbabilityDefinisi: πj(n) adalah probabilitas suatu rantai Markov {Xn} berada dalam status j pada step ke n. Maka, πj(n) = P[Xn = j]. Distribusi awal (intial) dari masing-masing status 0, 1, 2, .. dinyatakan sebagaiπj(0) = P[X0 = j], untuk j = 0, 1, 2, …. Suatu rantai Markov memiliki distribusi probabilitas stasionerπ = (π0, π1, π2, …, πn) apabila terpenuhi persamaanπ =πP asalkan setiap πi ≥ 0 dan ∑i πi = 1. Jika suatu rantai Markov homogen waktu (stasioner dari waktu ke aktu) yang irreducible, aperiodic, maka limit probabilitas (n) π j = limπ j , untuk j = 0, 1, … n→∞ selalu ada dan independen dari distribusi probabilitas status awal π(0) = (0)(0) (π0, π1,π2(0), ….). Jika seluruh status tidak positive recurrent (jadi seluruhnya recurrent null atau seluruhnya transient), maka πj = 0 untuk semua j dan tidak terdapat distribusi probabilitas stasioner. Teorema mengenai Irreducible Jika {Xn} suatu rantai Markov, maka tepat salah satu kondisi berikut ini terjadi 1) Semua status adalah positive recurrent 2) Semua status recurrent null 3) Semua status transient

Teorema mengenai Limiting Probability dan Irreducible

Teorema mengenai Limiting Probability Definisi: π j ( n ) adalah probabilitas suatu rantai Markov { X n } berad a dalam status j pada ste...

Baca selengkapnya »

Teorema mengenai Relasi Ekovalensi

Teorema mengenai Relasi Ekovalensi

(a) Relasi i ↔j merupakan relasi ekivalen, yaitu untuk setiap status i, berlaku i ↔ i jika i ↔ j , maka juga j ↔ i jika i ↔j dan j ↔k ma...

Baca selengkapnya »

Terminologi

Reachable State status j reachable dari status i apabila dalam rantai dapat terjadi transisi dari status i ke status j melalui sejumlah transisi berhingga; Terdapat n, 0 ≤ n < ∞, sehingga Pnij > 0 Irreducible Chain jika dalam suatu rantai Markov setiap status reachable dari setiap status lainnya, rantai tersebut adalah irreducible. Periodic State suatu status i disebut periodic dengan perioda d > 1, jika pnii > 0, hanya untuk n = d, 2d, 3d, …; sebaliknya jika pnii > 0 untuk n = 1, 2, 3, … maka status tersebut disebut aperiodic. Probability Of First Return Probabilitas kembali pertama kalinya ke status i terjadi dalam n transisi setelah meninggalkan i. fi(n) = P[Xn = i, Xk ≠ i untuk k = 1, 2, …, n-1 | X0 = i] (note: fi(0) didefinisikan = 1 untuk semua i). Probability of Ever Return probabilitas akan kembalinya ke status i setelah sebelumnya meninggalkan i. (n) fi = ∑∞ fi n=1 1 Berdasarkan Pij = P1 ij serta P0 ij = 1 untuk i= j dan P0 ij = 0 untuk i ≠ j (yaitu Fungsi Delta Kronecker). Transient State Suatu status disebut transient jika probabilitas fi <>i melalui sejumlah transisi terdapat kemungkinan tidak dapat kembali ke i. Recurrent State Suatu status disebut recurrent jika probabilitas fi = 1; yaitu bahwa setelah dari I melalui sejumlah transisi selalu ada kemungkinan untuk kembali ke i. Mean Recurrence Time of State Untuk suatu status recurrent, jumlah step rata-rata untuk kembali ke status i ∞ (n) mi =∑nfi n=1 Null Recurrenct State Suatu recurrent state disebut reccurent null jika mi = ∞ Positive Recurrent State Suatu recurrent state disebut positive reccurent atau recurrent nonnull jika mi < ∞ Communicate State Dua status, i dan j, dikatakan berkomunikasi jika i reachable dari j dan juga j reachable dari i; ditulis dengan notasi i ↔ j . Ergodic Rantai Markov disebut ergodic jika irreducible, aperiodic, dan seluruh status positive recurrent.

Terminologi

Reachable State s tatus j reachable dari status i apabila dalam rantai dapat terjadi transisi dari status i ke status j melalui sejumlah ...

Baca selengkapnya »

Matematika2

Subring ( Ring Bagian )

Sifat-sifat Bersahaja dari Ring

Ring dan Teorema Sederhana dari Ring

Teorema mengenai Limiting Probability dan Irreducible

Teorema mengenai Relasi Ekovalensi

Terminologi

Entri Populer

Arsip Blog

Komentar